Question

（本題滿分12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)C（1，1）為圓心，2為半徑作圓，交x軸于A，B兩點(diǎn)，開口向下的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，B，且其頂點(diǎn)P在⊙C上．

（1）求∠ACB的大小；

（2）寫出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）試確定此拋物線的解析式；

（4）在該拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使線段OP與CD互相平分？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）120°

（2）A(1-，0 )   B（1+，0）

（3）  

（4）點(diǎn)D在拋物線上    所以存在D（0，2）使線段OP與CD互相平分

【解析】

試題分析：（1）

解：過點(diǎn)作CM⊥AB，得CM=1，

∵AC=2，∴∠CAB=30°，∴∠ACB=120°     （2分）

（2）∵CM=1，AC=2，∴AM=

∴A(1-，0 )   B（1+，0）         （2分）

（3）

解：由題可得該拋物線的對稱軸為  直線x=1，PM=3

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,3）                (1分)

設(shè)

經(jīng)過點(diǎn)A(1-，0 )  ，得 0=3a+3

∴a=-1    ∴       （2分）

（4）解：存在    （1分）

假設(shè)存在點(diǎn)D使線段OP與CD互相平分，則四邊形OCPD是平行四邊形

∴PC//OD且PC=OD．

∵PC//y軸，∴點(diǎn)D在y軸上．

又∵PC=2，∴OD=2，即D（0，2）．     （2分）

又D（0，2）滿足

∴點(diǎn)D在拋物線上    所以存在D（0，2）使線段OP與CD互相平分．  （2分）

考點(diǎn)：本題考查了待定系數(shù)法求解二次函數(shù)

點(diǎn)評：此類試題屬于難度較大的試題，考生在解答此類試題時一定要對待定系數(shù)法解二次函數(shù)的基本知識熟練把握