Question

如圖所示，⊙O半徑為2，弦BD=2

3

，A為弧BD的中點(diǎn)，E為弦AC的中點(diǎn)，且在BD上，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析：由A是弧BD的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理，可知OF⊥BD，且BF=DF=

1

2

BD=

3

，在Rt△BOF中，利用勾股定理，可求出OF=1，即AF=1，那么，S_△ABD=

1

2

×BD×AF=

3

，而E是AC中點(diǎn)，會(huì)出現(xiàn)等底同高的三角形，因而有S_四邊形=2S_△ABD=2

3

．

解答：解：連接OA交BD于點(diǎn)F，連接OB，
∵OA在直徑上且點(diǎn)A是弧BD中點(diǎn)，
∴OA⊥BD，BF=DF=

3

在Rt△BOF中
由勾股定理得OF²=OB²-BF²
OF=

22-( 3 )2

=1
∵OA=2
∴AF=1
∴S_△ABD=

2 3 ×1

2

=

3

∵點(diǎn)E是AC中點(diǎn)
∴AE=CE
又∵△ADE和△CDE同高
∴S_△CDE=S_△ADE
∵AE=EC，
∴S_△CBE=S_△ABE．
∴S_△BCD=S_△CDE+S_△CBE=S_△ADE+S_△ABE=S_△ABD=

3

∴S_{四邊形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD=2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題利用了垂徑定理、勾股定理，還有等底同高的三角形面積相等等知識(shí)．