【題目】如圖,在同一平面上,兩塊斜邊相等的直角三角板Rt△ABC和Rt△ADC拼在一起,使斜邊AC完全重合,且頂點(diǎn)B,D分別在AC的兩旁,∠ABC=∠ADC=90°,∠CAD=30°,AB=BC=4cm

(1)填空:AD= (cm),DC= (cm)

(2)點(diǎn)M,N分別從A點(diǎn),C點(diǎn)同時以每秒1cm的速度等速出發(fā),且分別在AD,CB上沿A→D,C→B方向運(yùn)動,點(diǎn)N到AD的距離(用含x的式子表示)

(3)在(2)的條件下,取DC中點(diǎn)P,連接MP,NP,設(shè)△PMN的面積為y(cm2),在整個運(yùn)動過程中,△PMN的面積y存在最大值,請求出y的最大值.

(參考數(shù)據(jù)sin75°=,sin15°=

【答案】(1);

(2);

(3)

【解析】

試題分析:(1)由勾股定理求出AC,由∠CAD=30°,得出DC=AC=,由三角函數(shù)求出AD即可;

(2)過N作NE⊥AD于E,作NF⊥DC,交DC的延長線于F,則NE=DF,求出∠NCF=75°,∠FNC=15°,由三角函數(shù)求出FC,得NE=DF=x,即可得出結(jié)果;

(3)由三角函數(shù)求出FN,得出PF,△PMN的面積y=梯形MDFN的面積﹣△PMD的面積﹣△PNF的面積,得出y是x的二次函數(shù),即可得出y的最大值.

試題解析:(1)∵∠ABC=90°,AB=BC=4cm,

∴AC===,

∵∠ADC=90°,∠CAD=30°,

∴DC=AC=

∴AD=DC=;

故答案為:;

(2)過點(diǎn)N作NE⊥AD于E,作NF⊥DC,交DC的延長線于F,如圖所示:

則NE=DF,

∵∠ABC=∠ADC=90°,AB=BC,∠CAD=30°,

∴∠ACB=45°,∠ACD=60°,

∴∠NCF=180°﹣45°﹣60°=75°,∠FNC=15°,

∵sin∠FNC=,NC=x,

∴FC=x,

∴NE=DF=

∴點(diǎn)N到AD的距離為

(3)∵sin∠NCF=,

∴FN=x,

∵P為DC的中點(diǎn),

∴PD=CP=,

∴PF=x+,

∴△PMN的面積y=梯形MDFN的面積﹣△PMD的面積﹣△PNF的面積

=x+﹣x)(x+2)﹣﹣x)×x+)(x)

=

即y是x的二次函數(shù),

<0,

∴y有最大值,

當(dāng)x=時,

y有最大值為

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(2)某物流公司現(xiàn)有31噸貨物,計劃同時租用A型車a輛,B型車b輛,一次運(yùn)完,且恰好每輛車都載滿貨物.請用含有b的式子表示a,并幫該物流公司設(shè)計租車方案;

(3)在(2)的條件下,若A型車每輛需租金100元/次,B型車每輛需租金120元/次.請選出最省錢的租車方案,并求出最少租車費(fèi)用.

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