Question

【題目】如圖，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，EM是AD的中垂線，交BC延長線于E．
（1）連接AE，證明：∠EAC=∠B．
（2）求證：DE2=BECE．

Answer 1

【答案】
（1）證明：

∵EM是AD的中垂線，

∴EA=ED，

∴∠EAD=∠EDA，

又∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD=∠BDA，

∵∠EAD=∠EAC+∠CAD，∠ADE=∠B+∠BAD，

∴∠EAC=∠B

（2）證明：在△EAC和△EBA中，

∠AEC=∠AEC，∠EAC=∠B，

∴△EAC∽△EBA，

∴ = ，

∴AE2=BECE，

∵DE=AE，

∴DE2=BECE

【解析】（1）根據線段垂直平分線性質求出AE=DE，求出∠EAD=∠EDA，根據角平分線定義得出∠CAD=∠BDA，即可求出答案；（2）根據相似三角形的判定得出△EAC∽△EBA，得出比例式，即可得出答案．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用線段垂直平分線的性質和相似三角形的判定與性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．