【題目】已知△ABC為等腰直角三角形,∠ACB=90°,CD是斜邊AB上的中線,且CD=2,點(diǎn)E是線段BD上任意一點(diǎn),以CE為邊向左側(cè)作正方形CEFG,EF交BC于點(diǎn)M,連接BG交EF于點(diǎn)N.
(1)證明:△CAE≌△CBG;
(2)設(shè)DE=x,BN=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并求出y的最大值;
(3)當(dāng)DE=2 ﹣2時(shí),求∠BFE的度數(shù).
【答案】
(1)證明:∵四邊形EFGC是正方形,
∴CG=CE,∠GCE=∠GFE=∠FEC=90°,
∵∠ACB=∠GCE=90°,
∴∠GCB=∠ECA,
∵GC=CE,CB=CA,
∴△CAE≌△CBG.
(2)解:∵CB=CA,CD⊥AB,∠ACB=90°,
∴CD=BD=AD=2,∠CBA=∠A=45°,
∵△CAE≌△CBG,
∴∠CBG=∠A=45°,
∴∠GBA=∠GBC+∠CBA=90°,
∵∠BEN+∠BNE=90°,∠BEN+∠CED=90°,
∴∠BNE=∠CED,∵∠EBN=∠CDE=90°,
∴△NBE∽△EDC,
∴ = ,
∴ = ,
∴y=﹣ (x﹣1)2+ ,
∵﹣ <0,
∴x=1時(shí),y的最大值為 .
(3)解:在CD上取一點(diǎn)K,使得DE=DK=2 ﹣2,
∴EK=4﹣2 ,
∵CK=CD﹣DK=2﹣(2 ﹣2)=4﹣2 ,
∴KC=EK,
∵∠EKD=∠KED=45°,
∴∠KEC=∠KCE=22.5°,
∴∠CED=67.5°,
∴∠FEB=90°﹣67.5°=22.5°,
∵BE=BD﹣DE=4﹣2 =EK,CE=EF,∠BEF=∠ECK,
∴△BEF≌△KEC,
∴∠EFB=∠ECK=22.5°.
【解析】(1)根據(jù)SAS證明即可;(2)只要證明△NBE∽△EDC,可得,可得,由此即可解決問(wèn)題;(3)在CD上取一點(diǎn)K,使得DE=DK=,首先證明KC=EK,再證明△BEF≌△KEC即可解決問(wèn)題,
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解相似三角形的判定與性質(zhì)(相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某電器商場(chǎng)銷售A,B兩種型號(hào)計(jì)算器,兩種計(jì)算器的進(jìn)貨價(jià)格分別為每臺(tái)30元,40元. 商場(chǎng)銷售5臺(tái)A型號(hào)和1臺(tái)B型號(hào)計(jì)算器,可獲利潤(rùn)76元;銷售6臺(tái)A型號(hào)和3臺(tái)B型號(hào)計(jì)算器,可獲利120元.
(1)求商場(chǎng)銷售A,B兩種型號(hào)計(jì)算器的銷售價(jià)格分別是多少元?(利潤(rùn)=銷售價(jià)格﹣進(jìn)貨價(jià)格)
(2)商場(chǎng)準(zhǔn)備用不多于2500元的資金購(gòu)進(jìn)A,B兩種型號(hào)計(jì)算器共70臺(tái),問(wèn)最少需要購(gòu)進(jìn)A型號(hào)的計(jì)算器多少臺(tái)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】解不等式組
請(qǐng)結(jié)合題意,完成本題解答過(guò)程.
(1)解不等式①,得 ,依據(jù)是 .
(2)解不等式②,得 .
(3)解不等式③,得 .
(4)把不等式①,②和③的解集在數(shù)軸上表示出來(lái).
(5)從圖中可以找出三個(gè)不等式解集的公共部分,得不等式組的解集 .
(6)根據(jù)不等式組的解集確立出該不等式組的最大整數(shù)解為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線y=2x+4與反比例函數(shù)y= 的圖象相交于A(﹣3,a)和B兩點(diǎn)
(1)求k的值;
(2)直線y=m(m>0)與直線AB相交于點(diǎn)M,與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)N.若MN=4,求m的值;
(3)直接寫出不等式 >x的解集.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于不等式組 ,下列說(shuō)法正確的是( )
A.此不等式組的正整數(shù)解為1,2,3
B.此不等式組的解集為﹣1<x≤
C.此不等式組有5個(gè)整數(shù)解
D.此不等式組無(wú)解
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某快遞公司針對(duì)新客戶優(yōu)惠收費(fèi),首件物品的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為:若重量不超過(guò)10千克,則免運(yùn)費(fèi);當(dāng)重量為千克時(shí),運(yùn)費(fèi)為元;第二件物品的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為:當(dāng)重量為千克時(shí),運(yùn)費(fèi)為元。
(1)若新客戶所奇首件物品的重量為13千克,則運(yùn)費(fèi)是多少元?
(2)若新客戶所寄首件物品的運(yùn)費(fèi)為32元,則物品的重量是多少千克?
(3)若新客戶所寄首件物品與第二件物品的重量之比為2:5,共付運(yùn)費(fèi)為60元,則兩件物品的重量各是多少千克?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】黃岡農(nóng)科院培育的“黃金8號(hào)”玉米種子的價(jià)格為5元/kg,如果一次購(gòu)買2kg以上的種子,超過(guò)2kg部分的種子的價(jià)格打8折.
(Ⅰ)根據(jù)題意,填寫下表:
購(gòu)買種子的數(shù)量/kg 1.5 2 3.5 4 …
付款金額/元 7.5 16 …
(Ⅱ)設(shè)購(gòu)買種子數(shù)量為xkg,付款金額為y元,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式;
(Ⅲ)若小明幫奶奶一次購(gòu)買該種子花費(fèi)了30元,求他購(gòu)買種子的數(shù)量.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是正方形,BE⊥BF,BE=BF,EF與BC交于點(diǎn)G.
(1)求證:AE=CF;
(2)若∠ABE=55°,求∠EGC的大。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AD=4,∠DAC=30°,點(diǎn)P、E分別在AC、AD上,則PE+PD的最小值是( )
A.2
B.2
C.4
D.
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