Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)E．若AE=4，CE=8，DE=3，梯形ABCD的高是，面積是54．求證：AC⊥BD．

Answer 1

證明見(jiàn)解析

解析試題分析：由AD∥BC，可證明△EAD∽△ECB，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出BE的長(zhǎng)，過(guò)D作DF∥AC交BC延長(zhǎng)線于F，則四邊形ACFD是平行四邊形，所以CF=AD，再根據(jù)勾股定理的逆定理證明BD⊥DF即可證明AC⊥BD�！�
證明：∵AD∥BC，∴△EAD∽△ECB。
∴AE：CE=DE：BE。
∵AE=4，CE=8，DE=3，∴BE=6。
∵S_梯形=（AD+BC）×=54，∴AD+BC=15。
過(guò)D作DF∥AC交BC延長(zhǎng)線于F，

則四邊形ACFD是平行四邊形，
∴CF=AD�！郆F=AD+BC=15。
在△BDF中，BD²+DF²=9²+12²=225，BF²=225，
∴BD²+DF²=BF²�！郆D⊥DF。
∵AC∥DF，∴AC⊥BD。