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已知正方形ABCD和等腰Rt△BEF，BE=EF，∠BEF=90°，按圖放置，使點F在BC上，取DF的中點G，連接EG，CG．試探究EG，CG的位置關系與數量關系并證明．

【答案】分析：根據正方形的性質和題目的意思作輔助線，延長BE一定過B點，再由直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，求解即可．
解答：解：EG⊥CG且EG=CG；
證明：連接BD，則∠DBC=45°，
又∵BE=EF∠BEF=90°，
∴∠EBF=45°=∠DBC，
∴D、E、B共線，
∴∠DEF=90°，
∵DG=FG，
∴EG=DF，
同理CG=DF，
∴EG=CG，
∵EG=GD，
∴∠3=∠5，
∴∠1=2∠3，
同理∠2=2∠4，
∴∠EGC=2（∠3+∠4）=90°，
∴EG⊥CG．
點評：本題考點是：正方形的性質、直角三角形的性質、外角的性質以及輔助線的作法．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數學 來源： 題型：

已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共頂點A，將正方形AEFG繞點A旋轉．
（1）發(fā)現與證明：
發(fā)現：①當E點旋轉到DA的延長線上時（如圖1），△ABE與△ADG的面積關系是：
 
．
②當E點旋轉到CB的延長線上時（如圖2），△ABE與△ADG的面積關系是：
 
．
證明：請你選擇上述兩個發(fā)現中的任意一個加以證明，選擇①、②證明的滿分分別為4分和6分．（注意：證明前要注明選擇了哪一個發(fā)現）
（2）引申與運用：
引申：當正方形AEFG旋轉任意一個角度時（如圖3），△ABE與△ADG的面積關系是：
 
．
運用：已知△ABC，AB=5cm，BC=3cm，分別以AB、BC、CA為邊向外作正方形（如圖4），則圖中陰影部分的面積和的最大值是
 
cm2．
證明：我選擇
 
進行證明．
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科目：初中數學 來源： 題型：

24、已知正方形ABCD和正方形AEFG有一個公共點A，點G、E分別在線段AD、AB上．
（1）如圖1，連接DF、BF，證明：BF=DF；
（2）若將正方形AEFG繞點A按順時針方向旋轉，在旋轉的過程中線段DF與BF的長還相等嗎？若相等，請證明；若相不等，連接DG，在旋轉的過程中，你能否找到一條線段的長與線段DG的長始終相等．并以圖2為例說明理由．

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科目：初中數學 來源： 題型：

已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共頂點A，將正方形AEFG繞點A旋轉．
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（1）發(fā)現：當E點旋轉到DA的延長線上時（如圖1），△ABE與△ADG的面積關系是：
 
．
（2）引申：當正方形AEFG旋轉任意一個角度時（如圖2），△ABE與△ADG的面積關系是：
 
．并證明你的結論．
（3）運用：已知△ABC，AB=5cm，BC=3cm，分別以AB、BC、CA為邊向外作正方形（如圖3），則圖中陰影部分的面積和的最大值是
 
cm2．

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科目：初中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，已知正方形ABCD和EFCG，點E、F、G分別在線段AC、BC、CD上，正方形ABCD的邊長為6．
（1）如果正方形EFCG的邊長為4，求證：△ABE∽△CAG；
（2）正方形EFCG的邊長為多少時，tan∠ABE×cot∠CAG=3．

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科目：初中數學 來源： 題型：

已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共頂點A，將正方形AEFG繞點A旋轉．

（1）如圖，當點E旋轉到DA的延長線上時，△ABE與△ADG面積之間的關系為：S△ABE
=
=
S△ADG（填“＜”“=”“＞”）；
（2）如圖，當正方形AEFG旋轉任意一個角度時，S△ABE
=
=
S△ADG（填“＜”“=”“＞”），并說明理由；
（3）如圖，四邊形ABCD、四邊形AEFG和四邊形DGMN均為正方形，則S△ABE、S△ADG、S△CDN和S△GMF的關系是
相等
相等
．
（4）某小區(qū)中有一塊空地，要在其中建三個正方形健身場所，其余空地（圖中陰影部分）修成草坪，其中一個正方形的邊長為6m．另外兩個正方形的邊長之和為10m，則草坪的最大面積為
48
48
m2．

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