Question

已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共頂點(diǎn)A，將正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)．

（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)到DA的延長線上時(shí)，△ABE與△ADG面積之間的關(guān)系為：S_△ABE

=

S_△ADG（填“＜”“=”“＞”）；
（2）如圖，當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度時(shí)，S_△ABE

=

S_△ADG（填“＜”“=”“＞”），并說明理由；
（3）如圖，四邊形ABCD、四邊形AEFG和四邊形DGMN均為正方形，則S_△ABE、S_△ADG、S_△CDN和S_△GMF的關(guān)系是

相等

．
（4）某小區(qū)中有一塊空地，要在其中建三個(gè)正方形健身場所，其余空地（圖中陰影部分）修成草坪，其中一個(gè)正方形的邊長為6m．另外兩個(gè)正方形的邊長之和為10m，則草坪的最大面積為

48

m²．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)面積公式可直接看出△ABE與△ADG是等底等高的關(guān)系，所以面積相等；
（2）過點(diǎn)E作△ABE中AB邊上的高，交BA延長線于點(diǎn)P，過點(diǎn)G作△ADG中AD邊上的高，交AD延長線于點(diǎn)Q．利用正方形和直角三角形的性質(zhì)可證明△AEP≌△AGQ，即EP=QG，AB=AD，所以△ABE與△ADG也是等底等高，它們的面積關(guān)系是相等．
（3）與（2）的過程類似．
（4）設(shè)AD=6，AG=x，GD=10-x，利用海倫公式表示出一個(gè)三角形的面積，建立關(guān)于x的一元二次方程，求其最大值即可．

解答：解：（1）相等，故答案為相等．

（2）過點(diǎn)E作△ABE中AB邊上的高，交BA延長線于點(diǎn)P，過點(diǎn)G作△ADG中AD邊上的高，交AD延長線于點(diǎn)Q，如圖，
∵正方形ABCD和正方形AEFG中，∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠EAP+∠GAP=90°，
∠QAG+∠GAP=90°，
∴∠EAP=∠DAG，
∵AE=AG，∠EPA=∠AQG=90°，
∴Rt△AEP≌Rt△AGQ，
∴EP=QG，
而AB=AD，
∴S_△ABE=

1

2

AB×EP=S_△ADG=

1

2

AD×QD．
故答案為“=”．


（3）根據(jù)（2）的推理過程可知，S_△ABE=S_△ADG=S_△CDN=S_△GMF．
故答案為“相等”．

（4）設(shè)AD=6，AG=x，GD=10-x，設(shè)△ADG的面積為S，
由海倫公式可知：S=

{8(8-6)(8-x)[8-(10-x)]}

=4

-(x-5)2+9

，
當(dāng)x=5時(shí)，S取得最小值，為12，
則由于四個(gè)三角形面積相等，故陰影部分的最大面積為12×4=48．
故答案為48．

點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)，利用海倫公式求出一個(gè)陰影三角形的面積的最小值是解題的關(guān)鍵．