【題目】如圖,拋物線y=ax2+b與x軸交于點A、B,且A點的坐標為(1,0),與y軸交于點C(0,1).
(1)求拋物線的解析式,并求出點B坐標;
(2)過點B作BD∥CA交拋物線于點D,連接BC、CA、AD,求四邊形ABCD的周長;(結(jié)果保留根號)
(3)在x軸上方的拋物線上是否存在點P,過點P作PE垂直于x軸,垂足為點E,使以B、P、E為頂點的三角形與△CBD相似?若存在請求出P點的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
解:∵點A(1,0)和點C(0,1)在拋物線y=ax2+b上,
∴ ,解得:a=﹣1,b=1,
∴拋物線的解析式為:y=﹣x2+1,
拋物線的對稱軸為y軸,則點B與點A(1,0)關(guān)于y軸對稱,∴B(﹣1,0)
(2)
解:設(shè)過點A(1,0),C(0,1)的直線解析式為y=kx+b,可得:
,解得k=﹣1,b=1,∴y=﹣x+1.
∵BD∥CA,∴可設(shè)直線BD的解析式為y=﹣x+n,
∵點B(﹣1,0)在直線BD上,∴0=1+n,得n=﹣1,
∴直線BD的解析式為:y=﹣x﹣1.
將y=﹣x﹣1代入拋物線的解析式,得:﹣x﹣1=﹣x2+1,解得:x1=2,x2=﹣1,
∵B點橫坐標為﹣1,則D點橫坐標為2,
D點縱坐標為y=﹣2﹣1=﹣3,∴D點坐標為(2,﹣3).
如答圖①所示,過點D作DN⊥x軸于點N,則DN=3,AN=1,BN=3,
在Rt△BDN中,BN=DN=3,由勾股定理得:BD= ;
在Rt△ADN中,DN=3,AN=1,由勾股定理得:AD= ;
又OA=OB=OC=1,OC⊥AB,由勾股定理得:AC=BC= ;
∴四邊形ABCD的周長為:AC+BC+BD+AD= + + + = +
方法二
∵A(1,0),C(0,1),∴l(xiāng)AC:y=﹣x+1,
∵BD∥CA,∴KBD=KAC=﹣1,
∴l(xiāng)BD:y=﹣x﹣1,
∴ ,
∴x1=2,x2=﹣1(舍),
∴D(2,﹣3),
∴AC= = ,
CB= = ,
BD= =3 ,
DA= = ,
∴四邊形ABCD的周長為:5 +
(3)
解:假設(shè)存在這樣的點P,則△BPE與△CBD相似有兩種情形:
(Ⅰ)若△EPB∽△BDC,如答圖②所示,
則有 ,即 ,∴PE=3BE.
設(shè)OE=m(m>0),則E(﹣m,0),BE=1﹣m,PE=3BE=3﹣3m,
∴點P的坐標為(﹣m,3﹣3m).
∵點P在拋物線y=﹣x2+1上,
∴3﹣3m=﹣(﹣m)2+1,解得m=1或m=2,
當m=1時,點E與點B重合,故舍去;當m=2時,點E在OB左側(cè),點P在x軸下方,不符合題意,故舍去.
因此,此種情況不存在;
(Ⅱ)若△EBP∽△BDC,如答圖③所示,
則有 ,即 ,∴BE=3PE.
設(shè)OE=m(m>0),則E(m,0),BE=1+m,PE= BE= (1+m)= + m,
∴點P的坐標為(m, + m).
∵點P在拋物線y=﹣x2+1上,
∴ + m=﹣(m)2+1,解得m=﹣1或m= ,
∵m>0,故m=﹣1舍去,∴m= ,
點P的縱坐標為: + m= + × = ,
∴點P的坐標為( , ).
綜上所述,存在點P,使以B、P、E為頂點的三角形與△CBD相似,點P的坐標為( , )
方法二
∵C(0,1),B(﹣1,0),
∴KBC= =1,
∵KBD=﹣1,∴KBC×KBD=﹣1,
∴BD⊥BC,
若△EPB∽△BDC,則 或 ,
①設(shè)點P(t,﹣t2+1),E(t,0),B(﹣1,0),
PE=PY=﹣t2+1,BE=EX﹣BX=t+1,
∵BD=3 ,CB= , ,
∴ ,
∴t=﹣2(此時點P位于x軸下方,故舍去)
②∵ ,
∴ ,
∴t= ,
∴P( , )
【解析】(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式,點B坐標可由對稱性質(zhì)得到,或令y=0,由解析式得到;(2)關(guān)鍵是求出點D的坐標,然后利用勾股定理分別求出四邊形ABCD四個邊的長度;(3)本問為存在型問題.可以先假設(shè)存在,然后按照題意條件求點P的坐標,如果能求出則點P存在,否則不存在.注意三角形相似有兩種情形,需要分類討論.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解相似三角形的應(yīng)用的相關(guān)知識,掌握測高:測量不能到達頂部的物體的高度,通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決;測距:測量不能到達兩點間的舉例,常構(gòu)造相似三角形求解.
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【題目】計算下列各題
(1)計算:(﹣1)2014﹣|﹣ |+ ﹣( ﹣π)0;
(2)先化簡,再求值:(2x﹣1)2﹣2(3﹣2x),其中x=﹣2.
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【題目】如圖,∠ABC=∠ACB,AD、BD、CD分別平分△ABC的外角∠EAC、內(nèi)角∠ABC、外角∠ACF.以下結(jié)論:①AD∥BC;②∠ACB=2∠ADB;③;④BD平分∠ADC;⑤∠BDC=∠BAC.其中正確的結(jié)論有_______個.
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【題目】如圖,一架5米長的梯子AB斜靠在一面墻上,梯子底端B到墻底的垂直距離BC為3米.
(1)求這個梯子的頂端A到地面的距離AC的值;
(2)如果梯子的頂端A沿墻AC豎直下滑1米到點D處,求梯子的底端B在水平方向滑動了多少米?
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【題目】已知直線與x軸交于點A,與y軸交于點B,現(xiàn)將沿直線AB翻折得到,以點A、B、C為頂點作平行四邊形,第四個頂點D的坐標是______.
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【題目】如圖,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=2,OB=1,將Rt△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后得Rt△FOE,將線段EF繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得線段ED,分別以O(shè),E為圓心,OA、ED長為半徑畫弧AF和弧DF,連接AD,則圖中陰影部分面積是( )
A.π
B.π+5
C.
D.
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【題目】如圖所示,有一個只允許單向通過的窄道口,通常情況下,每分鐘可以通過9人.一天王老師到達道口時,發(fā)現(xiàn)由于擁擠,每分鐘只能有3人通過道口,此時,自己前面還有36人等待通過(假定先到達的先過,王老師過道口的時間忽略不計),通過道口后,還需7分鐘到達學(xué)校.
(1)此時,若繞道而行,要15分鐘才能到達學(xué)校,從節(jié)省時間考慮,王老師應(yīng)選擇繞道去學(xué)校,還是選擇通過擁擠的道口去學(xué)校?
(2)若在王老師等人的維持下,幾分鐘后秩序恢復(fù)正常(維持秩序期間,每分鐘仍有3人通過道口),結(jié)果王老師比在擁擠的情況下提前6分鐘通過道口,問維持秩序的時間是多長?
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【題目】如圖,點C在以AB為直徑的⊙O上,AD與過點C的切線垂直,垂足為點D,AD交⊙O于點E.
(1)求證:AC平分∠DAB;
(2)連接CE,若CE=6,AC=8,求AE的長.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC=45°,AB=4cm,將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°后得到△A′BC′,則陰影部分的面積為cm2 .
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