Question

如圖，直線y=-

1

2

x+4與x軸、y軸分別交于C、D，以O(shè)D為直徑作⊙A交CD于F，F(xiàn)A的延長(zhǎng)線交⊙A于E，交x軸于B．
（1）設(shè)F（a，b），求以a，b為根的一元二次方程；
（2）求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）作輔助線FO和FH，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是90度，構(gòu)造出直角三角形OFC，利用勾股定理求出a，b的值；
（2）利用相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)相似比來(lái)求．

解答：解：（1）過(guò)F作EH⊥BC，H為垂足，連接OF，由直線方程得，OD=4，OC=8，CD=4

5

，
∵∠OFD為直徑OD所對(duì)圓周角，
∴OF⊥DC，OF=

OD•OC

DC

=

8

5

5

，
在Rt△OFC中，F(xiàn)C=

OC2-OF2

=

16

5

5

，F(xiàn)H=

OF×FC

OC

=

16

5

，OH=

OF2-FH2

=

8

5

，
∴a=

8

5

，b=

16

5

，
∴所求方程為x²-

24

5

x+

128

25

=0；

（2）∵在Rt△BAO和Rt△BFH中，∠B為公共角，
∴Rt△BAO∽R(shí)t△BFH，
∴

BA

BF

=

AO

FH

，

BE+2

BE+4

=

2

16 5

=

5

8

，
∴BE=

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題結(jié)合了圓的相關(guān)定理和勾股定理以及根據(jù)方程的根構(gòu)造一元二次方程，綜合性較強(qiáng)且難度適中，是一道好題．