Question

如圖，直線y=kx+b（k≠0）與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，OA=8，OB=6．動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，沿路線O→B→A以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)停止．
（1）直接寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求出直線AB的解析式；
（3）設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），△OPA的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出自變量的取值范圍）；
（4）當(dāng)S=12時(shí)，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)，此時(shí)，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)M，使以O(shè)、A、P、M為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)OA和OB的長度可求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程式中即可求出直線解析式；
（3）將P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)分為3個(gè)階段分別寫出函數(shù)關(guān)系式即可；
（4）根據(jù)（3）中求得的關(guān)系式求出P點(diǎn)坐標(biāo)，求在不同情況下是否存在點(diǎn)M．

解答：解：（1）A（8，0），B（0，6）（2分）

（2）∵直線y=kx+b過點(diǎn)A（8，0），B（0，6）
∴

8k+b=0 b=6

，
∴

k=- 3 4 b=6

，y=-

3

4

x+6（4分）

（3）∵在Rt△AOB中，OA=8，OB=6，
∴AB=10
①當(dāng)點(diǎn)P在OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，OP=t
S=

1

2

OA×OP=

1

2

×8t=4t（5分）

②當(dāng)點(diǎn)P在BA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AP=6+10-t=16-t．
作PD⊥OA于點(diǎn)D，
∴∠PDA=∠BOA=90°，∠A=∠A
∴△APD∽△ABO，得

PD

BO

=

AP

AB

，
即

PD

6

=

16-t

10

．解得PD=

48-3t

5

．
∵AP=6+10-t=16-t，
∴PD=

48-3t

5

∴S=

1

2

OA×PD=

1

2

×8×

48-3t

5

=-

12

5

t+

192

5

（8分）


（4）①當(dāng)4t=12時(shí)，t=3，P（0，3）
此時(shí)，過△AOP各頂點(diǎn)作對邊的平行線，與坐標(biāo)軸無第二個(gè)交點(diǎn)，所以點(diǎn)M不存在；（10分）
②當(dāng)-

12

5

t+

192

5

=12時(shí)，t=11，P（4，3），在坐標(biāo)軸上存在點(diǎn)M（兩個(gè)），使梯形存在，
此時(shí)M的坐標(biāo)為：（0，3）；（0，-6）．

點(diǎn)評：本題主要考查對于一次函數(shù)的應(yīng)用和對分段函數(shù)的理解掌握，此外，還應(yīng)掌握梯形的性質(zhì)．