Question

【題目】如圖，直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)M，M、N關(guān)于軸對(duì)稱，連接AN、BN．

（1）①求A、B的坐標(biāo)；

②求證：∠ANM=∠BNM；

（2）如圖，將題中直線變?yōu)?/span>，拋物線變?yōu)?/span>，其他條件不變，那么∠ANM=∠BNM是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）①（-，），（ 1，2）②證明見(jiàn)解析（2）∠ANM=∠BNM成立

【解析】

試題分析：（1）①聯(lián)立直線和拋物線解析式可求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；②過(guò)A作AC⊥y軸于C，過(guò)B作BD⊥y軸于D，可分別求得∠ANM和∠BNM的正切值，可證得結(jié)論；

（2）當(dāng)k=0時(shí)，由對(duì)稱性可得出結(jié)論；當(dāng)k≠0時(shí)，過(guò)A作AE⊥y軸于E，過(guò)B作BF⊥y軸于F，設(shè)A、B，聯(lián)立直線和拋物線解析式，消去y，利用根與系數(shù)的關(guān)系，可求得，則可證明Rt△AEN∽Rt△BFN，可得出結(jié)論．

試題解析： （1）①由已知得2x2=x+1，解得x=-或x=1，

當(dāng)x=-時(shí)，y=，當(dāng)x=1時(shí)，y=2，

∴A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-，），（ 1，2）；

②如圖1，過(guò)A作AC⊥y軸于C，過(guò)B作BD⊥y軸于D，

由①及已知有A（-，），B（ 1，2），且OM=ON=1，

∴tan∠ANM==，tan∠BNM=，

∴tan∠ANM=tan∠BNM，

∴∠ANM=∠BNM；

（2）∠ANM=∠BNM成立，

①當(dāng)k=0，△ABN是關(guān)于y軸的軸對(duì)稱圖形，

∴∠ANM=∠BNM；

②當(dāng)k≠0，根據(jù)題意得：OM=ON=b，設(shè)A、B．

如圖2，過(guò)A作AE⊥y軸于E，過(guò)B作BF⊥y軸于F，

由題意可知：ax2=kx+b，即ax2﹣kx﹣b=0，

∴，，

∵=====0∴，

∴Rt△AEN∽Rt△BFN，

∴∠ANM=∠BNM．