Question

已知Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3cm，OB=4cm，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)P、Q分別為AB、OB邊上的動(dòng)點(diǎn)，他們同時(shí)分別從點(diǎn)A、O向B點(diǎn)勻速移動(dòng)，移動(dòng)的速度都是1厘米/秒，設(shè)P、Q移動(dòng)時(shí)間為t秒（0≤t≤4）
（1）試用t的代數(shù)式表示P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求△OPQ的面積S（cm²）與t（秒）的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值，并求出S的最大值；
（3）試問是否存在這樣的時(shí)刻t，使△OPQ為直角三角形？如果存在，求出t的值，如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）作PM⊥OA于M，則PM∥OB，再根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式；由勾股定理求出AB=5，而AP=t，根據(jù)比例式求出AM、PM的值，P點(diǎn)坐標(biāo)即可得到；
（2）根據(jù)三角形的面積公式，P點(diǎn)縱坐標(biāo)與OQ的長(zhǎng)度的積的一半就是△OPQ面積，整理后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求解即可；
（3）作OQ邊上的高，根據(jù)△PON和△QPN相似，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，列式求解．

解答：解：（1）作PM⊥OA于M，則PM∥OB，
∴AM：AO=PM：BO=AP：AB，
∵OA=3cm，OB=4cm，
∴在Rt△OAB中，AB=

OA2+OB2

=

32+42

=5cm，
∵AP=1•t=t，
∴

AM

3

=

PM

4

=

t

5

，
∴PM=

4

5

t，AM=

3

5

t，
∴OM=OA-AM=3-

3

5

t，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

4

5

t，3-

3

5

t）；

（2）∵OQ=1•t=tcm，
∴S_△OPQ=

1

2

×t×（3-

3

5

t）=-

3

10

t²+

3

2

t=-

3

10

（t-

5

2

）²+

15

8

，
∴當(dāng)t=

5

2

s時(shí)，S有最大值，最大值為

15

8

cm²；

（3）存在．
理由：作PN⊥OB于N，
∵△OPQ為直角三角形，
∴△PON∽△QPN，
∴

PN

QN

=

ON

PN

，
∴（3-

3

5

t）²=

4

5

t（t-

4

5

t），
解得t₁=3，t₂=15（舍去）；
∴當(dāng)t=3s時(shí)，△OPQ為直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了勾股定理，平行線分線段成比例定理，二次函數(shù)最值問題以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想與函數(shù)思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．