Question

已知Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3cm，OB=4cm，以O(shè)為坐標(biāo)原點建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)P、Q分別為AB、OB邊上的動點，他們同時分別從點A、O向B點勻速移動，移動的速度都是1厘米/秒，設(shè)P、Q移動時間為t秒（0≤t≤4）
（1）試用t的代數(shù)式表示P點的坐標(biāo)；
（2）求△OPQ的面積S（cm²）與t（秒）的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)t為何值時，S有最大值，并求出S的最大值；
（3）試問是否存在這樣的時刻t，使△OPQ為直角三角形？如果存在，求出t的值，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）作PM⊥OA于M，則PM∥OB，
∴AM：AO=PM：BO=AP：AB，
∵OA=3cm，OB=4cm，
∴在Rt△OAB中，AB===5cm，
∵AP=1•t=t，
∴，
∴PM=t，AM=t，
∴OM=OA-AM=3-t，
∴點P的坐標(biāo)為（ t，3-t）；

（2）∵OQ=1•t=tcm，
∴S_△OPQ=×t×（3-t）=-t²+t=-（t-）²+，
∴當(dāng)t=s時，S有最大值，最大值為 cm²；

（3）存在．
理由：作PN⊥OB于N，
∵△OPQ為直角三角形，
∴△PON∽△QPN，
∴，
∴（3-t）²=t（t-t），
解得t₁=3，t₂=15（舍去）；
∴當(dāng)t=3s時，△OPQ為直角三角形．
分析：（1）作PM⊥OA于M，則PM∥OB，再根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式；由勾股定理求出AB=5，而AP=t，根據(jù)比例式求出AM、PM的值，P點坐標(biāo)即可得到；
（2）根據(jù)三角形的面積公式，P點縱坐標(biāo)與OQ的長度的積的一半就是△OPQ面積，整理后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求解即可；
（3）作OQ邊上的高，根據(jù)△PON和△QPN相似，相似三角形對應(yīng)邊成比例，列式求解．
點評：此題考查了勾股定理，平行線分線段成比例定理，二次函數(shù)最值問題以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想與函數(shù)思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．