Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AD=AC，AD⊥AC，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC延長線上一點(diǎn)．

（1）若ED⊥EF，求證：ED=EF；
（2）在（1）的條件下，若DC的延長線與FB交于點(diǎn)P，試判定四邊形ACPE是否為平行四邊形？并證明你的結(jié)論（請先補(bǔ)全圖形，再解答）；
（3）若ED=EF，ED與EF垂直嗎？若垂直給出證明．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：在ABCD中，

∵AD=AC，AD⊥AC，

∴AC=BC，AC⊥BC，

連接CE，

∵E是AB的中點(diǎn)，

∴AE=EC，CE⊥AB，

∴∠ACE=∠BCE=45°，

∴∠ECF=∠EAD=135°，

∵ED⊥EF，

∴∠CEF=∠AED=90°﹣∠CED，

在△CEF和△AED中， ，

∴△CEF≌△AED，

∴ED=EF；

（2）

解：由（1）知△CEF≌△AED，CF=AD，

∵AD=AC，

∴AC=CF，

∵DP∥AB，

∴FP=PB，

∴CP= AB=AE，

∴四邊形ACPE為平行四邊形；

（3）

解：垂直，

理由：過E作EM⊥DA交DA的延長線于M，過E作EN⊥FC交FC的延長線于N，

在△AME與△CNE中， ，

∴△AME≌△CNE，

∴∠ADE=∠CFE，

在△ADE與△CFE中， ，

∴△ADE≌△CFE，

∴∠DEA=∠FEC，

∵∠DEA+∠DEC=90°，

∴∠CEF+∠DEC=90°，

∴∠DEF=90°，

∴ED⊥EF．

【解析】（1）根據(jù)平行四邊形的想知道的AD=AC，AD⊥AC，連接CE，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CF=AD，等量代換得到AC=CF，于是得到CP= AB=AE，根據(jù)平行四邊形的判定定理即可得到四邊形ACPE為平行四邊形；（3）過E作EM⊥DA交DA的延長線于M，過E作EN⊥FC交FC的延長線于N，證得△AME≌△CNE，△ADE≌△CFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用平行四邊形的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補(bǔ)；平行四邊形的對角線互相平分．