Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)E，F(xiàn)分別是ABCD的邊BC，AD上的中點(diǎn)，且∠BAC=90°．
（1）求證：四邊形AECF是菱形；
（2）若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC，

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，

∴AE= BC=CE，

同理，AF= AD=CF，

∴AE=CE=AF=CF，

∴四邊形AECF是菱形

（2）解：連接EF交AC于點(diǎn)O，如圖所示：

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，BC=10，

∴AC= BC=5，AB= AC=5 ，

∵四邊形AECF是菱形，

∴AC⊥EF，OA=OC，

∴OE是△ABC的中位線，

∴OE= AB= ，

∴EF=5 ，

∴菱形AECF的面積= ACEF= ×5×5 = ．

【解析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AD=BC，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出AE= BC=CE，AF= AD=CF，得出AE=CE=AF=CF，即可得出結(jié)論；（2）連接EF交AC于點(diǎn)O，解直角三角形求出AC、AB，由三角形中位線定理求出OE，得出EF，菱形AECF的面積= ACEF，即可得出結(jié)果．