Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB：y=kx+b交y軸于點(diǎn)A（0，1），交x軸于點(diǎn)B（3，0）.平行于y軸的直線x=1交AB于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)P是直線x=1上一動(dòng)點(diǎn)，且在點(diǎn)D的上方，設(shè)P（1，n）.

（1）求直線AB的表達(dá)式；

（2）求△ABP的面積（用含n的代數(shù)式表示）；

（3）當(dāng)S△ABP=2時(shí)，以PB為邊在第一象限作等腰直角三角形BPC，直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x+1；（2）n﹣1；(3) （3，4）或（5，2）或（3，2）

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法求直線AB的解析式；

（2）根據(jù)鉛直高度與水平寬度的積可得三角形的面積；

（3）先計(jì)算當(dāng)S△ABP＝2時(shí)，P的坐標(biāo)，以PB為邊在第一象限作等腰直角三角形BPC，分三種情況討論：分別以三個(gè)頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)畫(huà)三角形，根據(jù)圖形可得C的坐標(biāo)．

（1）設(shè)直線AB的解析式是y＝kx+b，

把點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)B（3，0）代入得：解得：，

∴直線AB的解析式是：y＝﹣x+1；

（2）∵P（1，n），

∴D（1，），即PD＝n﹣，

∴S△ABP＝PDOB＝（n﹣）×3＝n﹣1；

（3）當(dāng)S△ABP＝2時(shí)，2＝n﹣1，解得n＝2，

∴點(diǎn)P（1，2）．

∵E（1，0），

∴PE＝BE＝2，

∴∠EPB＝∠EBP＝45°

①如圖1，∠CPB＝90°，BP＝PC，

過(guò)點(diǎn)C作CN⊥直線x＝1于點(diǎn)N．

∵∠CPB＝90°，∠EPB＝45°，

∴∠NPC＝∠EPB＝45°．

又∵∠CNP＝∠PEB＝90°，BP＝PC，

∴△CNP≌△BEP，

∴PN＝NC＝EB＝PE＝2，

∴NE＝NP+PE＝2+2＝4，

∴C（3，4）．

②如圖2，∠PBC＝90°，BP＝BC，

過(guò)點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F．

∵∠PBC＝90°，∠EBP＝45°，

∴∠CBF＝∠PBE＝45°．

又∵∠CFB＝∠PEB＝90°，BC＝BP，

∴△CBF≌△PBE．

∴BF＝CF＝PE＝EB＝2，

∴OF＝OB+BF＝3+2＝5，

∴C（5，2）．

③如圖3，∠PCB＝90°，

∴∠CPB＝∠EBP＝45°，

∠CPB＝∠EBP，BP＝BP，∠PCB＝∠PEB＝90°

∴△PCB≌△BEP，

∴PC＝CB＝PE＝EB＝2，

∴C（3，2）．

∴以PB為邊在第一象限作等腰直角三角形BPC，

綜上所述點(diǎn)C的坐標(biāo)是（3，4）或（5，2）或（3，2）．