Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰Rt△AOB的斜邊OB在x軸上，直線y=3x-4經(jīng)過(guò)等腰Rt△AOB的直角頂點(diǎn)A，交y軸于C點(diǎn)，雙曲線y=

k

x

也經(jīng)過(guò)A點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)A坐標(biāo)；
（2）求k的值；
（3）若點(diǎn)P為x正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)A的右側(cè)的雙曲線上是否存在一點(diǎn)M，使得△PAM是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（4）若點(diǎn)P為x負(fù)半軸上一動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)A的左側(cè)的雙曲線上是否存在一點(diǎn)N，使得△PAN是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）作AD⊥x軸于D
∵△AOB為等腰直角三角形
∴OD=AD=BD
設(shè)A（a，a），
則a=3a-4，
解得a=2
∴點(diǎn)A（2，2）；

（2）又點(diǎn)A在y=

k

x

上，
∴k=4，反比列函數(shù)為y=

4

x

；

（3）存在．
設(shè)M（m，n）
∵∠PAM=∠OAB=90°
∴∠OAP=∠BAM
∵OA=ABAP=AM
∴△OAP≌△BAM
∴∠ABM=∠AOP=45°
∴∠OBM=90°，即MB⊥x軸
∵△ABO是等腰直角三角形，A（2，2）
∴OB=4
∵點(diǎn)M在y=

4

x

上
∴M（4，1）；

（4）不存在
由（3）中所證易知：
假設(shè)在雙曲線上存在點(diǎn)N，
若△PAN為等腰直角三角形
則：△PAB≌△NAO
∴∠NOA=∠PBA=45°
∴∠NOB=90°
則點(diǎn)N在y軸上，
∴點(diǎn)N不在雙曲線上
∴點(diǎn)N不存在．