Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D是AC上一點，AE⊥BD，交BD的延長線于E，CF⊥BD于F.

(1)求證：CF＝BE；

(2)若BD＝2AE，求證：∠EAD＝∠ABE.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】（1）根據已知條件證明△ABE≌△BCF即可求證CF＝BE.

（2）由（1）可知：∠ABE＝∠BCF，且AE∥CF所以∠EAD＝∠ACF，只需證明∠ABE＝∠BCF＝∠ACF即可證明出∠EAD＝∠ABE.

證明：(1)∵∠ABC＝90°，CF⊥BD，AE⊥BD，

∴∠ABE＋∠EBC＝90°＝∠EBC＋∠BCF，

∴∠ABE＝∠BCF.

又∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝CB，

∴△ABE≌△BCF，

∴CF＝BE.

(2)由(1)知△ABE≌△BCF，

∴BF＝AE，∠ABE＝∠BCF.又∵BD＝BF＋FD＝2AE，

∴BF＝DF.

又∵CF⊥BD于F，∴CB＝CD，

∴CF平分∠ACB.

又∵∠AEB＝∠CFD＝90°，

∴AE∥CF，∴∠EAD＝∠ACF.

∵∠ABE＝∠BCF＝∠ACF，

∴∠EAD＝∠ABE.