【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(﹣1,0),B(5,0)兩點(diǎn),直線y=﹣x+3與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于點(diǎn)D.點(diǎn)P是x軸上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F,交直線CD于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若PE=5EF,求m的值;
(3)若點(diǎn)E′是點(diǎn)E關(guān)于直線PC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),是否存在點(diǎn)P,使點(diǎn)E′落在y軸上?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+4x+5.(2)m=2或m=.(3)點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,5),(﹣,),(4,5),(3﹣,2﹣3)
【解析】
試題分析:(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;
(2)用含m的代數(shù)式分別表示出PE、EF,然后列方程求解;
(3)解題關(guān)鍵是識(shí)別出當(dāng)四邊形PECE′是菱形,然后根據(jù)PE=CE的條件,列出方程求解;當(dāng)四邊形PECE′是菱形不存在時(shí),P點(diǎn)y軸上,即可得到點(diǎn)P坐標(biāo).
試題解析:(1)將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入拋物線解析式,得:
,解得,
∴拋物線的解析式為:y=﹣x2+4x+5.
(2)∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,
∴P(m,﹣m2+4m+5),E(m,﹣m+3),F(xiàn)(m,0).
∴PE=|yP﹣yE|=|(﹣m2+4m+5)﹣(﹣m+3)|=|﹣m2+m+2|,
EF=|yE﹣yF|=|(﹣m+3)﹣0|=|﹣m+3|.
由題意,PE=5EF,即:|﹣m2+m+2|=5|﹣m+3|=|-m+15|
① 若﹣m2+m+2=-m+15,整理得:2m2﹣17m+26=0,
解得:m=2或m=;
② 若﹣m2+m+2=﹣(-m+15),整理得:m2﹣m﹣17=0,
解得:m=或m=.
由題意,m的取值范圍為:﹣1<m<5,故m=、m=這兩個(gè)解均舍去.
∴m=2或m=.
(3)假設(shè)存在.
作出示意圖如下:
∵點(diǎn)E、E′關(guān)于直線PC對(duì)稱(chēng),
∴∠1=∠2,CE=CE′,PE=PE′.
∵PE平行于y軸,∴∠1=∠3,
∴∠2=∠3,∴PE=CE,
∴PE=CE=PE′=CE′,即四邊形PECE′是菱形.
當(dāng)四邊形PECE′是菱形存在時(shí),
由直線CD解析式y(tǒng)=﹣x+3,可得OD=4,OC=3,由勾股定理得CD=5.
過(guò)點(diǎn)E作EM∥x軸,交y軸于點(diǎn)M,易得△CEM∽△CDO,
∴,即,解得CE=|m|,
∴PE=CE=|m|,又由(2)可知:PE=|﹣m2+m+2|
∴|﹣m2+m+2|=|m|.
(1) 若﹣m2+m+2=m,整理得:2m2﹣7m﹣4=0,解得m=4或m=﹣ ;
③ 若﹣m2+m+2=﹣m,整理得:m2﹣6m﹣2=0,解得m1=3+,m2=3﹣.
由題意,m的取值范圍為:﹣1<m<5,故m=3+這個(gè)解舍去.
當(dāng)四邊形PECE′是菱形這一條件不存在時(shí),
此時(shí)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為0,E,C,E'三點(diǎn)重合與y軸上,也符合題意,
∴P(0,5)
綜上所述,存在滿足條件的點(diǎn)P,可求得點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,5),(﹣,),(4,5),(3﹣,2﹣3)
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A. 56.2×103B. 5.62×104C. 562×102D. 0.562×103
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【題目】解答
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用水量(噸) | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 |
戶數(shù) | 3 | 6 | 7 | 9 | 5 |
這30戶家該月用水量的眾數(shù)和中位數(shù)分別是( 。
A. 25,27.5B. 25,25C. 30,27.5D. 30,25
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甲 | 乙 | 丙 | 丁 | |
平均數(shù)(cm) | 561 | 560 | 561 | 560 |
方差s2 | 3.5 | 3.5 | 15.5 | 16.5 |
根據(jù)表中數(shù)據(jù),要從中選擇一名成績(jī)好又發(fā)揮穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)員參加比賽,應(yīng)該選擇( 。
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
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