Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a與x軸交于點(diǎn)B，C，與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，)，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．

(1)如圖1，求拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)如圖2，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，連接PB，過點(diǎn)D作DQ⊥BP于點(diǎn)H，交x軸于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為n，求n與m的函數(shù)關(guān)系式；

(3)如圖3，在(2)的條件下，過點(diǎn)C作CE∥y軸交BP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，連接FQ，若∠DQC+∠CQF＝135°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)D(1，2)；(2)n＝4﹣m；(3)P(，)．

【解析】

（1）將點(diǎn)A代入拋物線解析式可求出a，拋物線解析式和頂點(diǎn)D可求．

（2）分別過點(diǎn)D、P作x軸的垂線，可得到三角形相似，用點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換線段長(zhǎng)度，列比例關(guān)系就可以得到m和n的函數(shù)關(guān)系．

（3）用點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為線段長(zhǎng)度，可以得到相關(guān)線段的長(zhǎng)度相等，從而得到全等三角形及相似三角形，列比例關(guān)系就可以得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．

(1)將點(diǎn)A(0，)代入拋物線中，

﹣3a＝，

解得a＝﹣，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+，

∵﹣＝1，解得y＝2，

∴D(1，2)．

(2)如圖1所示，過點(diǎn)D作DH垂直于x軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)P作PN垂直于x軸于點(diǎn)N，

∴DH＝2，QH＝n﹣1，PN＝，BN＝m+1，

∵△BPN∽△DHQ，

∴，即，

解得n＝4﹣m．

(3)如圖2所示，

∵D(1，2)，Q(4﹣m，0)，C(3，0)B(﹣1，0)，

∴BN＝2，DN＝2，NQ＝3﹣m，

∵∠BNG＝∠DNQ，∠NDQ＝∠GBN，

∴△BGN≌△DNQ(ASA)，

∴GN＝NQ＝3﹣m，

連接GQ，

∴∠GQN＝45°，

∵∠DQC+∠FQC＝135°，

∴∠GQD＝∠FQC，

∵DG＝m﹣1，

過點(diǎn)P作y軸的平行線PM，過點(diǎn)D作x軸的平行線交MP于點(diǎn)M，連接MG，

∴MD＝m﹣1，

∴MD＝DG，

∴∠DGM＝45°，

∵∠NGQ＝45°，

∴∠MGQ＝90°，

∴∠MGP＝∠GQD＝∠FQC，

連接GF，GF∥BC，

∴∠GFQ＝∠FQC＝∠MGP，∠FGQ＝∠GMP＝45°，

∴△GMP∽△GQF，

∴，

∵,，

∴，

解得m1＝1(舍)，m2＝，

∴m＝，

∴P(，)．