【題目】如圖,矩形ABCD中,O為AC中點,過點O的直線分別與AB、CD交于點E、F,連結BF交AC于點M,連結DE、BO.若∠COB=60°,F(xiàn)O=FC,則下列結論:①FB垂直平分OC;②△EOB≌△CMB;③DE=EF;④S△AOE:S△BCM=2:3.其中正確結論的個數(shù)是( 。
A.4個
B.3個
C.2個
D.1個
【答案】B
【解析】解:①∵矩形ABCD中,O為AC中點,
∴OB=OC,
∵∠COB=60°,
∴△OBC是等邊三角形,
∴OB=BC,
∵FO=FC,
∴FB垂直平分OC,
故①正確;
②∵FB垂直平分OC,
∴△CMB≌△OMB,
∵OA=OC,∠FOC=∠EOA,∠DCO=∠BAO,
∴△FOC≌△EOA,
∴FO=EO,
易得OB⊥EF,
∴△OMB≌△OEB,
∴△EOB≌△CMB,
故②正確;
③由△OMB≌△OEB≌△CMB得∠1=∠2=∠3=30°,BF=BE,
∴△BEF是等邊三角形,
∴BF=EF,
∵DF∥BE且DF=BE,
∴四邊形DEBF是平行四邊形,
∴DE=BF,
∴DE=EF,
故③正確;
④在直角△BOE中∵∠3=30°,
∴BE=2OE,
∵∠OAE=∠AOE=30°,
∴AE=OE,
∴BE=2AE,
∴S△AOE:S△BCM=S△AOE:S△BOE=1:2,
故④錯誤;
所以其中正確結論的個數(shù)為3個;
故選B
①利用線段垂直平分線的性質(zhì)的逆定理可得結論;
②證△OMB≌△OEB得△EOB≌△CMB;
③先證△BEF是等邊三角形得出BF=EF,再證DEBF得出DE=BF,所以得DE=EF;
④由②可知△BCM≌△BEO,則面積相等,△AOE和△BEO屬于等高的兩個三角形,其面積比就等于兩底的比,即S△AOE:S△BOE=AE:BE,由直角三角形30°角所對的直角邊是斜邊的一半得出BE=2OE=2AE,得出結論S△AOE:S△BOE=AE:BE=1:2.
本題綜合性比較強,既考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì),又考查了全等三角形的性質(zhì)和判定,及線段垂直平分線的性質(zhì),內(nèi)容雖多,但不復雜;看似一個選擇題,其實相當于四個證明題,屬于常考題型.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,等腰Rt△ABC中,∠C=90°,D為AC上一點,連接BD,將線段BD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DE,DE與AB相交于點F,過點D作DG⊥AB,垂足為點G.若EF=5,CD=2 ,則△BDG的面積為 .
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【題目】如圖,AB⊥CD,且AB=CD.E、F是AD上兩點,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c,則AD的長為( )
A. a+cB. b+cC. a﹣b+cD. a+b﹣c
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=7,點D在邊BC上,CD=3,⊙A的半徑長為3,⊙D與⊙A相交,且點B在⊙D外,那么⊙D的半徑長r的取值范圍是( )
A.1<r<4
B.2<r<4
C.1<r<8
D.2<r<8
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【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx﹣5(a≠0)經(jīng)過點A(4,﹣5),與x軸的負半軸交于點B,與y軸交于點C,且OC=5OB,拋物線的頂點為點D.
(1)求這條拋物線的表達式;
(2)聯(lián)結AB、BC、CD、DA,求四邊形ABCD的面積;
(3)如果點E在y軸的正半軸上,且∠BEO=∠ABC,求點E的坐標.
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【題目】感知:如圖1,AD平分∠BAC.∠B+∠C=180°,∠B=90°,易知:DB=DC.
探究:如圖2,AD平分∠BAC,∠ABD+∠ACD=180°,∠ABD<90°,求證:DB=DC.
應用:如圖3,四邊形ABCD中,∠B=45°,∠C=135°,DB=DC=a,則AB﹣AC= (用含a的代數(shù)式表示)
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【題目】如圖,已知△ABC的周長是20,OB和OC分別平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于點D,且OD=3,則△ABC的面積是( 。
A. 20 B. 25 C. 30 D. 35
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,Rt△OAB的直角頂點A在x軸的正半軸上,頂點B的坐標為(3,),點C的坐標為(1,0),且∠B=60°,點P為斜邊OB上的一個動點,則PA+PC的最小值為_____.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,O為坐標原點,△ABC的邊BC在x軸上,A,C兩點的坐標分別為A(0,m),C(n,0),B(﹣5,0),且(n﹣3)2+ =0.一動點P從點B出發(fā),以每秒2單位長度的速度沿射線BO勻速運動,設點P運動的時間為ts.
(1)求A,C兩點的坐標;
(2)連接PA,若△PAB為等腰三角形,求點P的坐標;
(3)當點P在線段BO上運動時,在y軸上是否存在點Q,使△POQ與△AOC全等?若存在,請求出t的值并直接寫出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.
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