【題目】如圖,拋物線L1y=ax2+bx+c(a0)x軸交于AB兩點,與y軸交于C點,且A(1,0),OB=OC=3OA.若拋物線L2與拋物線L1關(guān)于直線x=2對稱.

1)求拋物線L1與拋物線L2的解析式;

2)在拋物線L1上是否存在一點P,在拋物線L2上是否存在一點Q,使得以BC為邊,且以BC、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形?若存在,求出PQ兩點的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.

【答案】1)拋物線L1的解析式為y=-x2+2x+3,拋物線L2的解析式為y=-(x-3)2+4;(2)存在P(2,3),Q(5,0)P(,)Q(,),使得以BC為邊且以B、C、PQ為頂點的四邊形為平行四邊形.

【解析】

1)用待定系數(shù)法求拋物線L1的解析式并配方成頂點式,得到拋物線L1的頂點坐標(biāo)D;由拋物線L2與拋物線L1關(guān)于直線x2對稱可得兩拋物線開口方向、大小相同,且兩頂點關(guān)于直線x2對稱,因此求得拋物線L2的頂點D',進而得到拋物線L2的頂點式;
2)由于BC為邊,以B、C、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形,所以有兩種情況:①BQPC,BQPC;②BPCQ,BPCQ.因為可把點B、C之間看作是向左(或右)平移3個單位,再向上(或下)平移3個單位得到,所以點PQ之間也有相應(yīng)的平移關(guān)系,故可由點P坐標(biāo)(t,t2t3)的t表示點Q坐標(biāo),再把點Q坐標(biāo)代入拋物線L2解方程即求得t的值,進而求得點P、Q坐標(biāo).

1)∵A(10),

OB=OC=3OA=3,

B(3,0),C(03)

∵拋物線L1y=ax2+bx+c經(jīng)過點A、BC,

,解得:

∴拋物線L1的解析式為y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,

∴拋物線L1的頂點D(1,4)

∵拋物線L2與拋物線L1關(guān)于直線x=2對稱,

∴兩拋物線開口方向、大小相同,拋物線L2的頂點D'與點D關(guān)于直線x=2對稱,

D'(3,4)

∴拋物線L2的解析式為y=-(x-3)2+4;

2)存在滿足條件的P、Q,使得以BC為邊且以B、CP、Q為頂點的四邊形為平行四邊形,設(shè)拋物線L1上的P(t,-t2+2t+3),

若四邊形BCPQ為平行四邊形,如圖1,

BQPCBQ=PC,

BQ可看作是CP向右平移3個單位,再向下平移3個單位得到的,

Q(t+3,-t2+2t),

∵點Q在拋物線L2上,

∴﹣t2+2t=-(t+3-3)2+4,解得:t=2,

P(23),Q(50);

若四邊形BCQP為平行四邊形,如圖2,

BPCQ,BP=CQ

CQ可看作是BP向左平移3個單位,再向上平移3個單位得到的,

Q(t3,-t2+2t+6),

∴﹣t2+2t+6=-(t-3-3)2+4,解得:t,

P(),Q(,)

綜上所述:存在P(2,3),Q(5,0)P(,),Q(,),使得以BC為邊且以B、C、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形.

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