Question

【題目】如圖，在中，， 垂足為平分，交于點，交于點.

(1)若，求的長；

(2)過點作的垂線，垂足為，連接，試判斷四邊形的形狀，并說明原因.

Answer 1

【答案】（1）CE＝2；（2）菱形，理由見解析.

【解析】

（1）根據(jù)題意易求得∠ACD＝∠CAF＝∠BAF＝30°，可得AE=CE，然后利用30°角的三角函數(shù)可求得CD的長、DE與AE的關系，進一步可得CE與CD的關系，進而可得結(jié)果；

（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得CF＝GF，根據(jù)HL可證Rt△ACF≌Rt△AGF，從而得∠AFC＝∠AFG，由平行線的性質(zhì)和等量代換可得∠CEF＝∠CFE，可得CE＝CF，進而得CE＝FG，根據(jù)一組對邊平行且相等可得四邊形CEGF是平行四邊形，進一步即得結(jié)論．

解：（1）∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，

∵CD⊥AB，∴∠ACD＝30°，∵AC＝6，∴，

∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠BAF＝30°，

∴∠ACD＝∠CAF，，∴CE＝AE＝2DE，∴CE＝2；

（2）四邊形CEGF是菱形．

證明：∵FG⊥AB，FC⊥AC，AF平分∠CAB，

∴∠ACF＝∠AGF＝90°，CF＝GF，

在Rt△ACF與Rt△AGF中，∵AF=AF，CF=GF，

∴Rt△ACF≌Rt△AGF（HL），∴∠AFC＝∠AFG，

∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴CD∥FG，

∴∠CEF＝∠EFG，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，

∴CE＝FG，∵CE∥FG，

∴四邊形CEGF是平行四邊形，

∵CE＝CF，∴平行四邊形CEGF是菱形．