Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90，AC=BC=1，E、F為線段AB上兩動(dòng)點(diǎn)，且∠ECF=45°，過(guò)點(diǎn)E、F分別作BC、AC的垂線相交于點(diǎn)M，垂足分別為H、G．現(xiàn)有以下結(jié)論：①AB=；②AF+BE=EF；③當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，MH=；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(　　)

A.0B.1C.2D.3

Answer 1

【答案】C

【解析】

由題意知，△ABC是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形即可對(duì)①作出判斷；如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)H與點(diǎn)B重合，可得MG∥BC，四邊形MGCB是矩形，進(jìn)一步得到FG是△ACB的中位線，從而對(duì)③作出判斷；如圖2所示，SAS可證△ECF≌△ECD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和勾股定理即可對(duì)②作出判斷，進(jìn)而得到答案；

解：①由題意知，△ABC是等腰直角三角形，

∴，故①正確；

如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)H與點(diǎn)B重合，

∴MB⊥BC，∠MBC=90°，
∵MG⊥AC，
∴∠MGC=90°=∠C=∠MBC，
∴MG∥BC，四邊形MGCB是矩形，
∴MH=MB=CG，
∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=∠ACF=45°，
∴CF=AF=BF，
∴FG是△ACB的中位線，

∴當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，MH=，故③正確；

如圖2所示，

∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠5=45°．
將△ACF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△BCD，
則CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°，BD=AF；
∵∠2=45°，
∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，
∴∠DCE=∠2．

，

∴△ECF≌△ECD（SAS），
∴EF=DE．
∵∠5=45°，
∴∠DBE=90°，

∴，即：，故②錯(cuò)誤；

綜上，有兩個(gè)結(jié)論正確，

故選：C；