Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，6），點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為E，連接BD．

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)F是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠FBA=∠BDE時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN∥x軸與拋物線交于點(diǎn)N，點(diǎn)P在x軸上，點(diǎn)Q在平面內(nèi)，以線段MN為對(duì)角線作正方形MPNQ，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+6，D（2，8）；（2）點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣1，）或（﹣3，﹣）；（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，﹣1）或（2，﹣﹣1）．

【解析】

試題分析：（1）由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式，再利用配方法將拋物線解析式變形成頂點(diǎn)式即可得出結(jié)論；（2）設(shè)線段BF與y軸交點(diǎn)為點(diǎn)F′，設(shè)點(diǎn)F′的坐標(biāo)為（0，m），由相似三角形的判定及性質(zhì)可得出點(diǎn)F′的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)B、F′的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線BF的解析式，聯(lián)立直線BF和拋物線的解析式成方程組，解方程組即可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；（3）設(shè)對(duì)角線MN、PQ交于點(diǎn)O′，如圖2所示．根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性結(jié)合正方形的性質(zhì)可得出點(diǎn)P、Q的位置，設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，2n），由正方形的性質(zhì)可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2﹣n，n）．由點(diǎn)M在拋物線圖象上，即可得出關(guān)于n的一元二次方程，解方程可求出n值，代入點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可得出結(jié)論．

試題解析：（1）將點(diǎn)B（6，0）、C（0，6）代入y=﹣x2+bx+c中，

得：，解得：，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+6．

∵y=﹣x2+2x+6=﹣（x﹣2）2+8，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，8）．

（2）設(shè)線段BF與y軸交點(diǎn)為點(diǎn)F′，設(shè)點(diǎn)F′的坐標(biāo)為（0，m），如圖1所示．

∵∠F′BO=∠FBA=∠BDE，∠F′OB=∠BED=90°，

∴△F′BO∽△BDE，

∴．

∵點(diǎn)B（6，0），點(diǎn)D（2，8），

∴點(diǎn)E（2，0），BE=6﹣4=4，DE=8﹣0=8，OB=6，

∴OF′=OB=3，

∴點(diǎn)F′（0，3）或（0，﹣3）．

設(shè)直線BF的解析式為y=kx±3，

則有0=6k+3或0=6k﹣3，

解得：k=﹣或k=，

∴直線BF的解析式為y=﹣x+3或y=x﹣3．

聯(lián)立直線BF與拋物線的解析式得：①或②，

解方程組①得：或（舍去），

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣1，）；

解方程組②得：或（舍去），

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣3，﹣）．

綜上可知：點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣1，）或（﹣3，﹣）．

（3）設(shè)對(duì)角線MN、PQ交于點(diǎn)O′，如圖2所示．

∵點(diǎn)M、N關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，且四邊形MPNQ為正方形，

∴點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線對(duì)稱(chēng)軸上，

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，2n），則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2﹣n，n）．

∵點(diǎn)M在拋物線y=﹣x2+2x+6的圖象上，

∴n=﹣（2-n）2+2（2﹣n）+6，即n2+2n﹣16=0，

解得：n1=﹣1，n2=﹣﹣1．

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，﹣1）或（2，﹣﹣1）．