如圖,在直角三角形ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AC=4,將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處,點(diǎn)C落在點(diǎn)D處.P、Q分別為線(xiàn)段AC、AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且AQ=2PC,連接PQ交線(xiàn)段AE于點(diǎn)M.
(1)設(shè)AQ=x,△APQ面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出它的定義域;
(2)若以點(diǎn)P為圓心,PC為半徑的圓與邊AB相切,求AQ的長(zhǎng);
(3)是否存在點(diǎn)Q,使得△AQM、△APQ和△APM這三個(gè)三角形中一定有兩個(gè)三角形相似?若存在請(qǐng)求出AQ的長(zhǎng);若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

解:(1)如圖1過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AC,垂足為H,
∵△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,
∴∠DAC=60°,△ABC≌△ADE,
∴∠DAE=∠BAC=30°,∠EAC=30°,
∴在直角三角形AQH中,
∴QH=
∵AQ=2PC,AC=4,
∴PC=AP=,

∴y=(4-x)•x=-x2+x(0<x≤4);
(2)如圖2過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AB,垂足為F.
∵以點(diǎn)P為圓心,PC為半徑的圓與邊AB相切,
∴PC=P.F
在直角三角形APF中,,
,

即:若以點(diǎn)P為圓心,PC為半徑的圓與邊AB相切,則AQ的長(zhǎng)為

(3)假設(shè)存在點(diǎn)Q,使得△AQM、△APQ和△APM這三個(gè)三角形中一定有兩個(gè)三角形相似.
①如圖3,當(dāng)△AQM與△APQ相似時(shí),
∵∠AQM=∠PQA,∠QAM≠∠QAP,
∴∠QAM=∠QPA=30°,
∴∠PQA=90°,
,
;
②當(dāng)△APQ與△APM相似時(shí),
∵∠APQ=∠APM,∠QAM≠∠QAP,
∴∠PAM=∠PQA=30°,
∴∠QPA=90°,
,
∴x=4;
③如圖4,當(dāng)△AQM與△APM相似時(shí),
∵∠QAM=∠PAM=30°,∠AQM≠∠AMP,
∴∠AQM=∠APM,
∴AQ=AP,
,

∴當(dāng)AQ為或4或時(shí),△AQM、△APQ和△APM這三個(gè)三角形中一定有兩個(gè)三角形相似.
分析:(1)設(shè)AQ=x,即可利用x表示出AP的長(zhǎng),然后根據(jù)△APQ的面積=AQ•AP•sin∠QAP,即可求解;
(2)過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AB,垂足為F,則PC=PF,直角三角形APF中根據(jù)邊角關(guān)系即可求解;
(3)△AQM、△APQ和△APM這三個(gè)三角形有兩個(gè)三角形相似,即可分成3種情況進(jìn)行討論,再根據(jù)sin∠QPA=,即可得到關(guān)于AQ的方程,從而求解.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),以及相似三角形的判定與性質(zhì),正確進(jìn)行討論,利用sin∠QPA=這一關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在直角三角形ABC中∠C=90°,則sinA=
 
精英家教網(wǎng)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在直角三角形中,一直角邊比另一直角邊長(zhǎng)1,且斜邊長(zhǎng)為5.
(1)請(qǐng)畫(huà)出這個(gè)直角三角形的內(nèi)切圓;
(2)并求出此內(nèi)切圓的半徑.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在直角三角形ABC中,AD為斜邊上的垂線(xiàn),AE為角平分線(xiàn),AF為中線(xiàn),
(1)證明:AF=BF=CF;
(2)寫(xiě)出∠FAE和∠DAE的關(guān)系并證明你的結(jié)論.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在直角三角形ABC中,∠C=90°,AB=4,陰影部分的面積為( 。
A、2πB、3πC、4πD、6π

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

9、如圖,在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=10cm,BC=5cm,一條線(xiàn)段PQ=AB,P、Q兩點(diǎn)分別在AC和AC的垂線(xiàn)AX上移動(dòng),則當(dāng)AP=
5cm或10cm
時(shí),才能使△ABC和△APQ全等.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案