Question

【題目】如圖，點(diǎn)C為△ABD外接圓上的一點(diǎn)（點(diǎn)C不在上，且不與點(diǎn)B，D重合），且∠ACB=∠ABD=45°，若BC=8，CD=4，則AC的長(zhǎng)為（ ）

A. 8.5 B. C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】在CD延長(zhǎng)線上截取DE=BC，連接EA，只需要證明△EAF是等腰直角三角形即可得出結(jié)論；

解：在CD的延長(zhǎng)線上截取DE=BC，連接EA，

∵∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，

∵∠ADE+∠ADC=180°，

∠ABC+∠ADC=180°，

∴∠ABC=∠ADE，

在△ABC與△ADE中，

AB=AD，∠ABC=∠ADE，BC=DE，

∴△ABC≌△ADE（SAS），

∴∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，

∴∠BAD=∠CAE=90°，

∵=，

∴∠ACD=∠ABD=45°，

∴△CAE是等腰直角三角形，

∴AC=CE，

∴AC=CD+DE=CD+BC；

∴AC=.

“點(diǎn)睛”本題考查圓的綜合問(wèn)題，涉及圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定等知識(shí)，綜合程度較高，解決本題的關(guān)鍵就是構(gòu)造等腰直角三角形．