Question

閱讀下列材料后回答問題：
在平面直角坐標(biāo)系中，已知x軸上的兩點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0）的距離記作|AB|=|x₁-x₂|，如果A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是平面上任意兩點(diǎn)，我們可以通過構(gòu)造直角三角形來求A、B間的距離．
如圖，過A、B兩點(diǎn)分別向x軸、y軸作垂線AM₁、AN₁和BM₂、BN₂，垂足分別記作M₁（x₁，0），N₁（0，y₁）、M₂（x₂，0），N₂（0，y₂），直線AN₁與BM₂交于Q點(diǎn)．
在Rt△ABQ中，|AB|²=|AQ|²+|QB|²，∵|AQ|=|M₁M₂|=|x₂-x₁|，|BQ|=|N₁N₂|=|y₂-y₁|
∴|AB|²=|x₂-x₁|2+|y₂-y₁|²由此得任意兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）之間的距離公式：|AB|=
如果某圓的圓心為（0，0），半徑為r．設(shè)P（x，y）是圓上任一點(diǎn)，根據(jù)“圓上任一點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心）的距離都等于定長(zhǎng)（半徑）”，我們不難得到|PO|=r，即，整理得：x²+y²=r²．我們稱此式為圓心在原點(diǎn)，半徑為r的圓的方程．
（1）直接應(yīng)用平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式，求點(diǎn)A（1，-3），B（-2，1）之間的距離；
（2）如果圓心在點(diǎn)P（2，3），半徑為3，求此圓的方程．
（3）方程x²+y²-12x+8y+36=0是否是圓的方程？如果是，求出圓心坐標(biāo)與半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)材料說明，畫出圖形，求出兩點(diǎn)間的距離公式，利用該公式來解答即可；
（2）利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來列方程；
（3）把圓的一般方程轉(zhuǎn)化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后，就很容易找出圓心坐標(biāo)與圓的半徑．
解答：解：（1）根據(jù)題意，建立直角坐標(biāo)系，
在直角△ABQ中，AB²=AQ²+BQ²，
∴AB=①
根據(jù)題意，得：
AQ=|x₂-x₁|②
BQ=|y₂-y₁|③
把②③代入①，得：
，
把A（1，-3），B（-2，1）代入上式
AB==5，
∴AB=5．

（2）（x-2）²+（y-3）²=9．

（3）∵方程x²+y²-12x+8y+36=0可以變形為（x-6）²+（y+4）²=16，
所以它是圓的方程，圓心坐標(biāo)為（6，-4），半徑為4．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，在解題過程中，涉及到了各種圖形的有關(guān)計(jì)算公式，所以，要牢記各種計(jì)算公式，以免在解題過程中出現(xiàn)知識(shí)混淆現(xiàn)象，從而造成解題錯(cuò)誤．