【題目】如圖1,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,D是AB的中點,E,F(xiàn)分別是AC,BC上的點(點E不與端點A,C重合),且AE=CF.
(1)求證:△ADE≌△CDF
(2)如圖2連接EF并取EF的中點O,連接DO并延長至點G,使GO=OD,連接DE,DF,GE,GF.求證:四邊形EDFG是正方形.
(3)當點E在什么位置時,四邊形EDFG的面積最?直接寫出點E的位置及四邊形EDFG面積的最小值.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)當點E位于AC中點時,面積最小,最小值是4
【解析】
(1)連接CD,根據(jù)等腰直角三角形的性質可得出∠A=∠DCF=45°、AD=CD,結合AE=CF可證出△ADE≌△CDF(SAS);(2)根據(jù)全等三角形的性質可得出DE=DF、ADE=∠CDF,通過角的計算可得出∠EDF=90°,再根據(jù)O為EF的中點、GO=OD,即可得出GD⊥EF,且GD=2OD=EF,由此即可證出四邊形EDFG是正方形;(3)過點D作DE′⊥AC于E′,根據(jù)等腰直角三角形的性質可得出DE′的長度,從而得出2≤DE<2,再根據(jù)正方形的面積公式即可得出四邊形EDFG的面積的最小值.
(1)證明:連接CD,如圖1所示.
∵△ABC為等腰直角三角形,∠ACB=90°,D是AB的中點,
∴∠A=∠DCF=45°,AD=CD.
在△ADE和△CDF中,
,
∴△ADE≌△CDF(SAS);
(2) ∵△ADE≌△CDF(SAS),
∴DE=DF,∠ADE=∠CDF.
∵∠ADE+∠EDC=90°,
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°,
∴△EDF為等腰直角三角形.
∵O為EF的中點,GO=OD,
∴GD⊥EF,且GD=2OD=EF,
∴四邊形EDFG是正方形;
(3) 解:過點D作DE′⊥AC于E′,如圖2所示.
∵△ABC為等腰直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC=4,
∴DE′= BC=2,AB=4,點E′為AC的中點,
∴2≤DE<2(點E與點E′重合時取等號).
∴4≤S四邊形EDFG=DE2<8.
∴當點E為線段AC的中點時,四邊形EDFG的面積最小,該最小值為4.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校園文學社為了解本校學生對本社一種報紙四個版面的喜歡情況,隨機抽取部分學生做了一次問卷調(diào)查,要求學生選出自己喜歡的一個版面,將調(diào)查數(shù)據(jù)進行了整理、繪制成部分統(tǒng)計圖如下:
各版面選擇人數(shù)的扇形統(tǒng)計圖 各版面選擇人數(shù)的條形統(tǒng)計圖
請根據(jù)圖中信息,解答下列問題:
(1)該調(diào)查的樣本容量為 , ,“第一版”對應扇形的圓心角為 ;
(2)請你補全條形統(tǒng)計圖;
(3)若該校有名學生,請你估計全校學生中最喜歡“第一版”的人數(shù).
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,將半徑為2,圓心角為120°的扇形OAB繞點A逆時針旋轉60°,點O,B的對應點分別為O′,B′,連接BB′,則圖中陰影部分的面積是( )
A. B. 2- C. 2- D. 4-
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為弘揚中華傳統(tǒng)文化,某校舉辦了學生“國學經(jīng)典大賽”.比賽項目為:.唐詩;.宋詞;.論語;.三字經(jīng).比賽形式分“單人組”和“雙人組”.
(1)小麗參加“單人組”,她從中隨機抽取一個比賽項目,恰好抽中“三字經(jīng)”的概率是多少?
(2)小紅和小明組成一個小組參加“雙人組”比賽,比賽規(guī)則是:同一小組的兩名隊員的比賽項目不能相同,且每人只能隨機抽取一次,則小紅和小明都沒有抽到“論語”的概率是多少?請用畫樹狀圖或列表的方法進行說明.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列從左邊到右邊的變形,是因式分解的是( 。
A.y﹣5y﹣6=(y﹣6)(y+1)B.a+4a﹣3=a(a+4)﹣3
C.x(x﹣1)=x﹣xD.m+n=(m+n)(m﹣n)
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知AB=AC,BE⊥AC于點E,CF⊥AB于點F,BE與CF交于點D,則下列結論中不正確的是( 。
A. B. C. 點D在的平分線上D. 點D是CF的中點
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】閱讀與思考
x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解
x2+(p+q)x+pq型式子是數(shù)學學習中常見的一類多項式,如何將這種類型的式子分解因式呢?
我們通過學習,利用多項式的乘法法則可知:(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq,因式分解是整式乘法相反方向的變形,利用這種關系可得x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).
利用這個結果可以將某些二次項系數(shù)是1的二次三項式分解因式,例如,將x2﹣x﹣6分解因式.這個式子的二次項系數(shù)是1,常數(shù)項﹣6=2×(﹣3),一次項系數(shù)﹣1=2+(﹣3),因此這是一個x2+(p+q)x+pq型的式子.所以x2﹣x﹣6=(x+2)(x﹣3).
上述過程可用十字相乘的形式形象地表示:先分解二次項系數(shù),分別寫在十字交叉線的左上角和左下角;再分解常數(shù)項,分別寫在十字交叉線的右上角和右下角;然后交叉相乘,求代數(shù)和,使其等于一次項系數(shù),如圖所示.
這樣我們也可以得到x2﹣x﹣6=(x+2)(x﹣3).這種分解二次三項式的方法叫“十字相乘法”.
請同學們認真觀察,分析理解后,解答下列問題:
(1)分解因式:y2﹣2y﹣24.
(2)若x2+mx﹣12(m為常數(shù))可分解為兩個一次因式的積,請直接寫出整數(shù)m的所有可能值.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(模型建立)(1)如圖1,等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CB=CA,直線ED經(jīng)過點C,過A作AD⊥ED于點D,過B作BE⊥ED于點E,求證:△BEC≌△CDA.
(模型應用)(2)①已知直線l1:y=x+3與坐標軸交于點A、B,將直線l1繞點A逆時針旋轉45o至直線l2,如圖2,求直線l2的函數(shù)表達式;
②如圖3,長方形ABCO,O為坐標原點,點B的坐標為(8,﹣6),點A、C分別在坐標軸上,點P是線段BC上的動點,若△APD是以點D為直角頂點的等腰直角三角形,當點D在直線y=﹣2x+5上時,直接寫出點D的坐標,并寫出整個運動過程中點D的縱坐標n的取值范圍.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com