【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心,2為半徑畫圓,P是⊙O上一動點(diǎn)且在第一象限內(nèi),過點(diǎn)P作⊙O的切線,與x、y軸分別交于點(diǎn)A、B.

(1)求證:△OBP與△OPA相似;

(2)當(dāng)點(diǎn)PAB中點(diǎn)時,求出P點(diǎn)坐標(biāo);

(3)在⊙O上是否存在一點(diǎn)Q,使得以Q,O,A、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.若存在,試求出Q點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】(1)見解析;(2)P點(diǎn)坐標(biāo)是(, );(3)存在;Q點(diǎn)坐標(biāo)是(,).

【解析】試題分析:1)在Rt△OAB中,由切線的性質(zhì)知:OPAB,易證得OAP∽△BPO
2)當(dāng)PAB中點(diǎn)時,由于OPAB,那么OP平分AOB,即P點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)相等,已知OP的長,易求得點(diǎn)P的坐標(biāo).

3)此題應(yīng)分兩種情況:

OP為對角線,此時OQAP,由于OPA=90°,那么POQ=90°,即POQ是等腰直角三角形,已知OAOB,那么OBPQ,此時OBPOQ的對角線,即P、Q關(guān)于y軸對稱由此得解;

OP為邊,此時OPAQ,由于OPA=90°,那么平行四邊形OPAQ為矩形,即POQ是等腰直角三角形,解法同

解:(1)證明:

AB是過點(diǎn)P的切線,

ABOP,∴∠OPB=OPA=90°;

∴在RtOPB中,∠1+∠3=90°,

又∵∠BOA=90°∴∠1+∠2=90°,

∴∠2=3;

在△OPB中△APO中,

∴△OPB∽△APO.

(2)OPAB,且PA=PB,

OA=OB,

∴△AOB是等腰三角形,

OP是∠AOB的平分線,

∴點(diǎn)Px、y軸的距離相等;

又∵點(diǎn)P在第一象限,

∴設(shè)點(diǎn)P(x,x)(x0),

∵圓的半徑為2,

OP=,解得x=x=﹣(舍去),

P點(diǎn)坐標(biāo)是(,).

(3)存在;

①如圖設(shè)OAPQ為平行四邊形,∴PQOA,OQPA;

ABOP,OQOP,PQOB,

∴∠POQ=90°,

OP=OQ,

∴△POQ是等腰直角三角形,

OB是∠POQ的平分線且是邊PQ上的中垂線,

∴∠BOQ=BOP=45°,

∴∠AOP=45°,

設(shè)P(x,x)、Q(﹣x,x)(x0),

OP=2代入得,解得x=,

Q點(diǎn)坐標(biāo)是(﹣);(1分)

②如圖示OPAQ為平行四邊形,

同理可得Q點(diǎn)坐標(biāo)是(,﹣).

練習(xí)冊系列答案
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,⊙A的半徑為4,圓心A的坐標(biāo)為(2,0),與x軸交于E、F兩點(diǎn),與y軸交于C、D兩點(diǎn),過點(diǎn)C作⊙A的切線BC,交x軸于B

1)求直線CB的解析式;

2)若拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)在直線BC上,與x軸交的點(diǎn)恰為⊙Ax軸的交點(diǎn),求該拋物線的解析式;

3)試判斷C是否在拋物線上?

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【題目】解方程

164x+2)=3x3

21

31

4

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【題目】閱讀材料:我們知道:如果點(diǎn)A.B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)ab,那么A.B兩點(diǎn)之間的距離表示為AB,在數(shù)軸上A.B兩點(diǎn)之間的距離AB=|ab|.

根據(jù)上述材料,利用數(shù)軸解答下列問題:

(1)如果點(diǎn)A在數(shù)軸上表示2,將點(diǎn)A先向左平移2個單位長度,再向右移動7個單位長度,那么終點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)是___;

(2)數(shù)軸上表示x1的兩個點(diǎn)之間的距離是___;

(3)若|x3|+|x+2|=7,則x的值是___;

(4)在(1)的條件下,設(shè)點(diǎn)P在數(shù)軸上表示的數(shù)為x,當(dāng)|PA||PB|=2時,則x的值是___.

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1)若的解析式為,判斷此時點(diǎn)是否在直線上,并說明理由;

2)當(dāng)直線邊有公共點(diǎn)時,求的取值范圍.

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說明:A級:90分~100分;B級:75分~89分;C級:60分~74分;D級:60分以下

1)樣本中D級的學(xué)生人數(shù)占全班學(xué)生人數(shù)的百分比是

2)扇形統(tǒng)計圖中A級所在的扇形的圓心角度數(shù)是 ;

3)請把條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整;

4)若該校九年級有500名學(xué)生,請你用此樣本估計體育測試中A級和B級的學(xué)生人數(shù)之和.

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1)求汽車送第一批教師到達(dá)機(jī)場所用的時間.

2)若只有這輛汽車送這16位教師去目的地后返回學(xué)校,請設(shè)計一種方案使該車所用總時間最短,并求出這個最短時間.

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