Question

【題目】如圖，已知直線y＝﹣x+4分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，拋物線過y＝ax2+bx+c經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，交拋物線于點(diǎn)D．

（1）若拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+4，設(shè)其頂點(diǎn)為M，其對(duì)稱軸交AB于點(diǎn)N．

①求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；

②是否存在點(diǎn)P，使四邊形MNPD為菱形？并說明理由；

（2）當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2時(shí)，是否存在這樣的拋物線，使得以B、P、D為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，求出滿足條件的拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】(1)① M（1，），N（1，3）； ②見解析;(2)見解析.

【解析】

（1）①把二次函數(shù)表達(dá)式化為頂點(diǎn)式表達(dá)式，即可求解；

②不存在．理由如下：設(shè)點(diǎn)P 的坐標(biāo)為（m，-m+4），則D（m，-m2+m+4），PD=-m2+m+4-（-m+4）=-m2+2m，當(dāng)四邊形MNPD為平行四邊形，則：m2+2m=，解得：m=1，則：點(diǎn)P（3，1），由N（1，3），則：PN=≠M(fèi)N，即可求解；

（2）分∠BDP=90°或∠PBD=90°兩種情況，求解即可．

解：（1）①y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣1）2+，

∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，），

當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣1+4＝3，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1，3）；

②不存在．理由如下：

MN＝﹣3＝，

設(shè)點(diǎn)P 的坐標(biāo)為（m，﹣m+4），則D（m，﹣m2+m+4），

PD＝﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，

∵PD∥MN．

∴當(dāng)PD＝MN時(shí)，四邊形MNPD為平行四邊形，

即﹣m2+2m＝，解得：m＝1或3（m＝1舍去），

∴點(diǎn)P（3，1），由N（1，3），

∴PN＝≠M(fèi)N，

∴平行四邊形MNPD不是菱形，

即：不存在點(diǎn)P，使四邊形MNPD為菱形；

（2）①當(dāng)∠BDP＝90°時(shí)，點(diǎn)P（2，2），則四邊形BOCD為矩形，

∴D（2，4），又A（4，0），B（0，4），

∴拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+x+4；

②當(dāng)∠PBD＝90°時(shí)，△PBD為等腰直角三角形，

則PD＝2xP＝4，

∴D（2，6），又A（4，0），B（0，4），

把A、B、D坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，解得：，

故：二次函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣x2+3x+4．