【題目】如圖,矩形OABC在平面直角坐標系xOy中,點A在x軸的正半軸上,點C在y軸的正半軸上,OA=4,OC=3,若拋物線的頂點在BC邊上,且拋物線經(jīng)過O,A兩點,直線AC交拋物線于點D.
(1)求拋物線的解析式;
(2)求點D的坐標;
(3)若點M在拋物線上,點N在x軸上,是否存在以A,D,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,求出點N的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+3x;(2)(1,);(3)(2,0),(6,0),(﹣﹣1,0),(﹣1,0).
【解析】試題分析:(1)由OA的長度確定出A的坐標,再利用對稱性得到頂點坐標,設(shè)出拋物線的頂點形式y=a(x-2)2+3,將A的坐標代入求出a的值,即可確定出拋物線解析式;
(2)設(shè)直線AC解析式為y=kx+b,將A與C坐標代入求出k與b的值,確定出直線AC解析式,與拋物線解析式聯(lián)立即可求出D的坐標;
(3)存在,分兩種情況考慮:如圖所示,當(dāng)四邊形ADMN為平行四邊形時,DM∥AN,DM=AN,由對稱性得到M(3,),即DM=2,故AN=2,根據(jù)OA+AN求出ON的長,即可確定出N的坐標;當(dāng)四邊形ADM′N′為平行四邊形,可得三角形ADQ全等于三角形N′M′P,M′P=DQ=,N′P=AQ=3,將y=-代入得:-=-x2+3x,求出x的值,確定出OP的長,由OP+PN′求出ON′的長即可確定出N′坐標.
試題解析:(1)設(shè)拋物線頂點為E,根據(jù)題意OA=4,OC=3,得:E(2,3),
設(shè)拋物線解析式為y=a(x-2)2+3,
將A(4,0)坐標代入得:0=4a+3,即a=-,
則拋物線解析式為y=-(x-2)2+3=-x2+3x;
(2)設(shè)直線AC解析式為y=kx+b(k≠0),
將A(4,0)與C(0,3)代入得:,
解得:,
故直線AC解析式為y=-x+3,
與拋物線解析式聯(lián)立得:,
解得:或,
則點D坐標為(1,);
(3)存在,分兩種情況考慮:
①當(dāng)點M在x軸上方時,如圖1所示:
四邊形ADMN為平行四邊形,DM∥AN,DM=AN,
由對稱性得到M(3,),即DM=2,故AN=2,
∴N1(2,0),N2(6,0);
②當(dāng)點M在x軸下方時,如圖2所示:
過點D作DQ⊥x軸于點Q,過點M作MP⊥x軸于點P,可得△ADQ≌△NMP,
∴MP=DQ=,NP=AQ=3,
將yM=-代入拋物線解析式得:-=-x2+3x,
解得:xM=2-或xM=2+,
∴xN=xM-3=--1或-1,
∴N3(--1,0),N4(-1,0).
綜上所述,滿足條件的點N有四個:N1(2,0),N2(6,0),N3(--1,0),N4(-1,0).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.
(1)操作發(fā)現(xiàn):如圖2,固定△ABC,使△DEC繞點C旋轉(zhuǎn),當(dāng)點D恰好落在AB邊上時,
①△ADC是 三角形;
②設(shè)△BDC的面積為,△AEC的面積為,則與的數(shù)量關(guān)系是 .
(2)猜想論證:當(dāng)△DEC繞點C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時,小明猜想(1)中與的數(shù)量關(guān)系仍然成立,并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC、CE邊上的高,請你證明小明的猜想.
(3)拓展探究:如圖4,已知∠ABC=60°,點D是角平分線上一點,且BD=CD=4,DE∥AB交BC于點E.若在射線BA上存在點F,使S△DCF=S△BDE,請直接寫出相應(yīng)的BF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某運動品牌專賣店準備購進甲、乙兩種運動鞋.其中甲、乙兩種運動鞋的進價和售價如下表.已知購進60雙甲種運動鞋與50雙乙種運動鞋共用10000元
運動鞋價格 | 甲 | 乙 |
進價(元/雙) | m | m﹣20 |
售價(元/雙) | 240 | 160 |
(1)求m的值;
(2)要使購進的甲、乙兩種運動鞋共200雙的總利潤(利潤=售價﹣進價)超過21000元,且不超過22000元,問該專賣店有幾種進貨方案?
(3)在(2)的條件下,專賣店準備決定對甲種運動鞋每雙優(yōu)惠a(50<a<70)元出售,乙種運動鞋價格不變.那么該專賣店要獲得最大利潤應(yīng)如何進貨?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平行四邊形ABCD的周長為36,對角線AC,BD相交于點O,點E是CD的中點,BD=12,則△DOE的周長是_____.
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【題目】某商店經(jīng)銷一種成本為每千克40元的水產(chǎn)品,據(jù)市場分析,若按每千克50元銷售,一個月能售出500千克.若銷售價每漲1元,則月銷售量減少10千克.
(1)要使月銷售利潤達到最大,銷售單價應(yīng)定為多少元?
(2)要使月銷售利潤不低于8000元,請結(jié)合圖象說明銷售單價應(yīng)如何定?
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【題目】如圖1,已知△ABC中,AB=AC,點D是△ABC外一點(與點A分別在直線BC兩側(cè)),且DB=DC,過點D作DE∥AC,交射線AB于E,連接AE交BC于F.
(1)求證:AD垂直BC;
(2)如圖1,點E在線段AB上且不與B重合時,求證:DE=AE;
(3)如圖2,當(dāng)點E在線段AB的延長線上時,寫出線段DE,AC,BE的數(shù)量關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知∠APB=30°,OP=3cm,⊙O的半徑為1cm,若圓心O沿著BP的方向在直線BP上移動.
(Ⅰ)當(dāng)圓心O移動的距離為1cm時,則⊙O與直線PA的位置關(guān)系是 .
(Ⅱ)若圓心O的移動距離是d,當(dāng)⊙O與直線PA相交時,則d的取值范圍是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點、在函數(shù)的圖象上.當(dāng)時,過點P分別作x軸、y軸的垂線,垂足為點A、B;過點Q分別作x軸、y軸的垂線,垂足為點C、D.QD交PA于點E.隨著m的增大,四邊形ACQE的面積
A. 減小B. 增大C. 先減小后增大D. 先增大后減小
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中,給出了格點△ABC(三角形頂點是網(wǎng)格線的交點)和△A1B1C1,△ABC與△A1B1C1成中心對稱。
(1)畫出△ABC和△A1B1C1的對稱中心O;
(2)將△A1B1C1,沿直線ED方向向上平移6格,畫出△A2B2C2;
(3)將△A2B2C2繞點C2順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,畫出△A3B3C3 .
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