【題目】如圖1,將兩個(gè)完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.
(1)操作發(fā)現(xiàn):如圖2,固定△ABC,使△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí),
①△ADC是 三角形;
②設(shè)△BDC的面積為,△AEC的面積為,則與的數(shù)量關(guān)系是 .
(2)猜想論證:當(dāng)△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí),小明猜想(1)中與的數(shù)量關(guān)系仍然成立,并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC、CE邊上的高,請(qǐng)你證明小明的猜想.
(3)拓展探究:如圖4,已知∠ABC=60°,點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn),且BD=CD=4,DE∥AB交BC于點(diǎn)E.若在射線BA上存在點(diǎn)F,使S△DCF=S△BDE,請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的BF的長.
【答案】(1)①等邊;②S1=S2;(2) ,理由見解析;(3)BF=或BF=
【解析】試題分析:(1)①根據(jù)AC=CD,∠BAC=60°,即可判定△ACD是等邊三角形;
②根據(jù)DE∥AC,可得S△ACE=S△ACD,根據(jù)點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),可得S△BDC=S△ACD,進(jìn)而得到△BDC的面積和△AEC的面積相等,即S1=S2;
(2)先判定△ACN≌△DCM(AAS),得出AN=DM,再根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可得,△BDC的面積和△AEC的面積相等,即S1=S2;
(3)先作EG⊥BD于G,延長CD交AB于H,根據(jù)等底等高的三角形的面積相等,可得EG=HF=,最后根據(jù)線段的和差關(guān)系,即可求得BF的長.
試題解析:(1)①∵△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn),點(diǎn)D恰好落在AB邊上,
∴AC=CD,
∵∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°,
∴△ACD是等邊三角形,②∵△ACD是等邊三角形,
∴∠ACD=60°,
又∵∠CDE=∠BAC=60°,
∴∠ACD=∠CDE,
∴DE∥AC,
∴根據(jù)同底等高的三角形面積相等,可得S△ACE=S△ACD,
∵∠B=30°,∠ACB=90°,
∴Rt△ABC中,AC=AB=AD,
∴點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),
∴S△BDC=S△ACD,
∴△BDC的面積和△AEC的面積相等,即S1=S2,
(2)如圖,
∵△DEC是由△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到,
∴BC=CE,AC=CD
,
,……… 6分
在△ACN和△DCM中,
,
,
∴AN=DM
∴△BDC的面積和△AEC的面積相等(等底等高的三角形的面積相等),
即
(3)BF=或BF=.
理由:如圖,作EG⊥BD于G,延長CD交AB于H,
∵BD平分∠ABC,∠ABC=60°,DE∥AB,
∴∠ABD=∠DBE=∠BDE=30°,
∴ED=EB,
∴BG=BD=2,
∴Rt△BEG中,GE=,
∵DB=DC=4,
∴∠BCD=∠DBC=30°,
∴∠ABC=60°,
∴∠CHB=90°,即CH⊥AB,
∵S△DCF=S△BDE,DB=DC,
∴△CDF中CD邊上的高等于,
當(dāng)點(diǎn)F在HB上時(shí),HF=,
又∵Rt△BDH中,DH=BD=2,∠DBH=30°,
∴BH=DH=2,
∴BF=BH-FH=2-=;
當(dāng)點(diǎn)F'在BH延長線上時(shí),同理可得HF'=,
∴BF'=BH+F'H=2+=.
綜上所述,BF的長為或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知AC是矩形ABCD的對(duì)角線,AC的垂直平分線EF分別交BC、AD于點(diǎn)E和F,EF交AC于點(diǎn)O.
(1)求證:四邊形AECF是菱形;(2)若AB=6,AD=8,求四邊形AECF的周長.
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【題目】已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,.
(1)分別用含的代數(shù)式表示,的值.
(2)若,求的值.
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【題目】二次函數(shù)的圖象如圖所示,點(diǎn)A0位于坐 標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A1,A2,A3,…,A2017在軸的正半軸上,點(diǎn)B1, B2, B3,…,B2017在二次函數(shù)位于第一象限的圖象上,△A0B1A1,△A1B2A2,△A2B3A3,…,△A2016B2017A2017都為等邊三角形,則等邊△A2016B2017A2017的高為_____.
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【題目】如圖,四邊形OABC是平行四邊形,以O為圓心,OA為半徑的圓交AB于D,延長 AO交⊙O于E,連接CD,CE,若CE是⊙O的切線,解答下列問題:
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)若平行四邊形OABC的兩邊長是方程的兩根,求平行四邊形OABC的面積.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60cm,∠A=60°,點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以4cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以2cm/s的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng),當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)D,E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是ts(0<t≤15).過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F,連接DE,EF.
(1)求證:四邊形AEFD是平行四邊形;
(2)當(dāng)t為何值時(shí),△DEF為直角三角形?請(qǐng)說明理由.
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【題目】已知:如圖,在菱形ABCD中,E是AB上一點(diǎn),線段DE與菱形對(duì)角線AC交于點(diǎn)F,點(diǎn)O是AC的中點(diǎn),EO的延長線交邊DC于點(diǎn)G
(1)求證:∠AED=∠FBC;
(2)求證:四邊形DEBG是平行四邊形.
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【題目】9歲的小芳身高1.36米,她的表姐明年想報(bào)考北京的大學(xué).表姐的父母打算今年暑假帶著小芳及其表姐先去北京旅游一趟,對(duì)北京有所了解.他們四人7月31日下午從無錫出發(fā),1日到4日在北京旅游,8月5日上午返回?zé)o錫.
無錫與北京之間的火車票和飛機(jī)票價(jià)如下:火車 (高鐵二等座) 全票524元,身高1.1~1.5米的兒童享受半價(jià)票;飛機(jī) (普通艙) 全票1240元,已滿2周歲未滿12周歲的兒童享受半價(jià)票.他們往北京的開支預(yù)計(jì)如下:
住宿費(fèi) (2人一間的標(biāo)準(zhǔn)間) | 伙食費(fèi) | 市內(nèi)交通費(fèi) | 旅游景點(diǎn)門票費(fèi) (身高超過1.2米全票) |
每間每天x元 | 每人每天100元 | 每人每天y元 | 每人每天120元 |
假設(shè)他們四人在北京的住宿費(fèi)剛好等于上表所示其他三項(xiàng)費(fèi)用之和,7月31日和8月5日合計(jì)按一天計(jì)算,不參觀景點(diǎn),但產(chǎn)生住宿、伙食、市內(nèi)交通三項(xiàng)費(fèi)用.
(1)他們往返都坐火車,結(jié)算下來本次旅游總共開支了13668元,求x,y的值;
(2)若去時(shí)坐火車,回來坐飛機(jī),且飛機(jī)成人票打五五折,其他開支不變,他們準(zhǔn)備了14000元,是否夠用? 如果不夠,他們準(zhǔn)備不再增加開支,而是壓縮住宿的費(fèi)用,請(qǐng)問他們預(yù)定的標(biāo)準(zhǔn)間房價(jià)每天不能超過多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A在x軸的正半軸上,點(diǎn)C在y軸的正半軸上,OA=4,OC=3,若拋物線的頂點(diǎn)在BC邊上,且拋物線經(jīng)過O,A兩點(diǎn),直線AC交拋物線于點(diǎn)D.
(1)求拋物線的解析式;
(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)M在拋物線上,點(diǎn)N在x軸上,是否存在以A,D,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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