【題目】已知AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于H,過CD延長線上一點E作⊙O的切線交AB的延長線于F,切點為G,連接AG交CD于K.
(1)如圖1,求證:KE=GE;
(2)如圖2,連接CABG,若∠FGB=∠ACH,求證:CA∥FE;
(3)如圖3,在(2)的條件下,連接CG交AB于點N,若sinE=,AK=,求CN的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)CN=.
【解析】試題分析:
(1)連接OG,則由已知易得∠OGE=∠AHK=90°,由OG=OA可得∠AGO=∠OAG,從而可得∠KGE=∠AKH=∠EKG,這樣即可得到KE=GE;
(2)設(shè)∠FGB=α,由AB是直徑可得∠AGB=90°,從而可得∠KGE=90°-α,結(jié)合GE=KE可得∠EKG=90°-α,這樣在△GKE中可得∠E=2α,由∠FGB=∠ACH可得∠ACH=2α,這樣可得∠E=∠ACH,由此即可得到CA∥EF;
(3)如下圖2,作NP⊥AC于P,
由(2)可知∠ACH=∠E,由此可得sinE=sin∠ACH=,設(shè)AH=3a,可得AC=5a,CH=4a,則tan∠CAH=,由(2)中結(jié)論易得∠CAK=∠EGK=∠EKG=∠AKC,從而可得CK=AC=5a,由此可得HK=a,tan∠AKH=,AK=a,結(jié)合AK=可得a=1,則AC=5;在四邊形BGKH中,由∠BHK=∠BKG=90°,可得∠ABG+∠HKG=180°,結(jié)合∠AKH+∠GKG=180°,∠ACG=∠ABG可得∠ACG=∠AKH,
在Rt△APN中,由tan∠CAH=,可設(shè)PN=12b,AP=9b,由tan∠ACG=tan∠AKH=3可得CP=4b,由此可得AC=AP+CP==5,則可得b=,由此即可在Rt△CPN中由勾股定理解出CN的長.
試題解析:
(1)如圖1,連接OG.
∵EF切⊙O于G,
∴OG⊥EF,
∴∠AGO+∠AGE=90°,
∵CD⊥AB于H,
∴∠AHD=90°,
∴∠OAG=∠AKH=90°,
∵OA=OG,
∴∠AGO=∠OAG,
∴∠AGE=∠AKH,
∵∠EKG=∠AKH,
∴∠EKG=∠AGE,
∴KE=GE.
(2)設(shè)∠FGB=α,
∵AB是直徑,
∴∠AGB=90°,
∴∠AGE=∠EKG=90°﹣α,
∴∠E=180°﹣∠AGE﹣∠EKG=2α,
∵∠FGB=∠ACH,
∴∠ACH=2α,
∴∠ACH=∠E,
∴CA∥FE.
(3)作NP⊥AC于P.
∵∠ACH=∠E,
∴sin∠E=sin∠ACH=,設(shè)AH=3a,AC=5a,
則CH=,tan∠CAH=,
∵CA∥FE,
∴∠CAK=∠AGE,
∵∠AGE=∠AKH,
∴∠CAK=∠AKH,
∴AC=CK=5a,HK=CK﹣CH=4a,tan∠AKH==3,AK= ,
∵AK=,
∴,
∴a=1.AC=5,
∵∠BHD=∠AGB=90°,
∴∠BHD+∠AGB=180°,
在四邊形BGKH中,∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG=360°,
∴∠ABG+∠HKG=180°,
∵∠AKH+∠HKG=180°,
∴∠AKH=∠ABG,
∵∠ACN=∠ABG,
∴∠AKH=∠ACN,
∴tan∠AKH=tan∠ACN=3,
∵NP⊥AC于P,
∴∠APN=∠CPN=90°,
在Rt△APN中,tan∠CAH=,設(shè)PN=12b,則AP=9b,
在Rt△CPN中,tan∠ACN==3,
∴CP=4b,
∴AC=AP+CP=13b,
∵AC=5,
∴13b=5,
∴b=,
∴CN== =.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】李先生從家到公司去上班要先經(jīng)過一段平路再過一段下坡路。他走平路每分鐘走60m,下坡路每分鐘走80m,上坡路每分鐘走40m,從家到公司需要10分鐘,從公司到家里需要14分鐘,求李先生家離公司多遠(yuǎn).
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某集團(tuán)公司對所屬甲、乙兩分廠下半年經(jīng)營情況記錄(其中“+”表示盈利,“-”表示虧損,單位:億元)如下表.
(1)計算八月份乙廠比甲廠多虧損多少億元?
(2)分別計算下半年甲、乙兩個工廠平均每月盈利或虧損多少億元?
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,AO⊥BO,∠B=30°,點B在y=的圖象上,求過點A的反比例函數(shù)的解析式.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知甲加工A型零件60個所用時間和乙加工B型零件80個所用時間相同.甲、乙兩人每天共加工35個零件,設(shè)甲每天加工x個A型零件.
(1)直接寫出乙每天加工的零件個數(shù);(用含x的代數(shù)式表示)
(2)求甲、乙每天各加工零件多少個?
(3)根據(jù)市場預(yù)測,加工A型零件所獲得的利潤為m元/件(3≤m≤5),加工B型零件所獲得的利潤每件比A型少1元.求甲、乙每天加工的零件所獲得的總利潤P(元)與m的函數(shù)關(guān)系式,并求P的最大值和最小值.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,雙曲線y= (x>0)經(jīng)過A、B兩點,若點A的橫坐標(biāo)為1,∠OAB=90°,且OA=AB,則k的值為________.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】新能源汽車投放市場后,有效改善了城市空氣質(zhì)量。經(jīng)過市場調(diào)查得知,某市去年新能源汽車總量已達(dá)到3250輛,預(yù)計明年會增長到6370輛.
(1)求今、明兩年新能源汽車數(shù)量的平均增長率;
(2)為鼓勵市民購買新能源汽車,該市財政部門決定對今年增加的新能源汽車給予每輛0.8萬元的政府性補(bǔ)貼.在(1)的條件下,求該市財政部門今年需要準(zhǔn)備多少補(bǔ)貼資金?
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,池塘邊有一塊長為18米,寬為10米的長方形土地,現(xiàn)在將其余三面留出寬都是x米的小路,中間余下的長方形部分做菜地,用代數(shù)式表示:
(1)菜地的長a=___米,寬b=___米;
(2)菜地的面積S=___平方米;
(3)求當(dāng)x=1米時,菜地的面積。
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,BC = 2.將△ABC繞頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△使點落在AC邊上.設(shè)M是的中點,連接BM,CM,則△BCM的面積為( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com