Question

如圖，已知在△ABC中，AB=15，AC=20，cotA=2，P是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，⊙P的半徑為定長(zhǎng)．當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，⊙P恰好與邊AC相切；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合，且⊙P與邊AC相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N時(shí)，設(shè)AP=x，MN=y．
（1）求⊙P的半徑；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；
（3）當(dāng)AP=6

5

時(shí)，試比較∠CPN與∠A的大小，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）作BD⊥AC，垂足為點(diǎn)D．則BD就是⊙P的半徑．根據(jù)已知條件可求得sinA，即可得出BD，即⊙P的半徑；
（2）作PH⊥MN，垂足為點(diǎn)H，由垂徑定理，得MN=2MH．即可表示出PH，從而得出y關(guān)于x的函數(shù)解析式．
（3）當(dāng)AP=6

5

時(shí)，可求出AM、CN．可證出△AMP∽△PNC，從而得出∠CPN與∠A的大�。�

解答：解：（1）作BD⊥AC，垂足為點(diǎn)D
∵⊙P與邊AC相切，
∴BD就是⊙P的半徑．
∵cotA=2，
∴sinA=

5

5

．（1分）
又∵sinA=

BD

AB

，AB=15，
∴BD=3

5

．（2分）

（2）作PH⊥MN，垂足為點(diǎn)H．
由垂徑定理，得MN=2MH．（1分）
而PH=

5

5

x，PM=BD=3

5

，（1分）
∴y=2

45- 1 5 x2

，即y=

2

5

1125-5x2

．（2分）
定義域?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">3

5

≤x＜15．（1分）

（3）當(dāng)AP=6

5

時(shí)，∠CPN=∠A．（1分）
證明如下：
當(dāng)AP=6

5

時(shí)，PH=6，MH=3，AH=12，
∴AM=9．（1分）
∵AC=20，MN=6，
∴CN=5．（1分）
∵

AM

MP

=

9

3 5

=

3 5

5

，

PN

CN

=

3 5

5

，
∴

AM

MP

=

PN

CN

．（1分）
又∵PM=PN，
∴∠PMN=∠PNM．
∴∠AMP=∠PNC．（1分）
∴△AMP∽△PNC．（1分）
∴∠CPN=∠A．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道中考?jí)狠S題，考查了切線的性質(zhì)和垂徑定理以及相似三角形的判定，難度偏大．