Question

已知：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸為x=-1，與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，其中A（-3，0），C（0，-2）
（1）求這條拋物線的函數(shù)表達式；
（2）已知在對稱軸上存在一點P，使得△PBC的周長最�。�請求出點P的坐標；
（3）若點D是線段OC上的一個動點（不與點O、點C重合）．過點D作DE∥PC交x軸于點E．連接PD、PE．設CD的長為m，△PDE的面積為S．求S與m之間的函數(shù)關系式．試說明S是否存在最大值？若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）由題意得

b 2a =1 9a-3b+c=0 c=-2

，
解得

a= 2 3 b= 4 3 c=-2

，
∴此拋物線的解析式為y=

2

3

x²+

4

3

x-2．

（2）連接AC、BC．

因為BC的長度一定，
所以△PBC周長最小，就是使PC+PB最�。�
B點關于對稱軸的對稱點是A點，AC與對稱軸x=-1的交點即為所求的點P．
設直線AC的表達式為y=kx+b，
則

-3k+b=0 b=-2

，
解得

k=- 2 3 b=-2

，
∴此直線的表達式為y=-

2

3

x-2，
把x=-1代入得y=-

4

3

∴P點的坐標為（-1，-

4

3

）．

（3）S存在最大值，
理由：∵DE∥PC，即DE∥AC．
∴△OED∽△OAC．
∴

OD

OC

=

OE

OA

，即

2-m

2

=

OE

3

，
∴OE=3-

3

2

m，OA=3，AE=

3

2

m，
∴S=S_△OAC-S_△OED-S_△AEP-S_△PCD
=

1

2

×3×2-

1

2

×（3-

3

2

m）×（2-m）-

1

2

×

3

2

m×

4

3

-

1

2

×m×1
=-

3

4

m²+

3

2

m=-

3

4

（m-1）²+

3

4

∵-

3

4

＜0
∴當m=1時，S最大=

3

4

．