Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，線段AB的端點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，6）、B（6，6）．點(diǎn)Q在線段AB上，以Q為項(xiàng)點(diǎn)的拋物線y＝﹣x2+bx+c與y軸交于點(diǎn)D，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為C．設(shè)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為n（n＞m）．

（1）當(dāng)m＝0時(shí)，求n的值．

（2）求線段AD的長(zhǎng)（用含m的式子表示）；

（3）點(diǎn)P（2，0）在x軸上，設(shè)△BPD的面積為S，求S與m的關(guān)系式；

（4）當(dāng)△DCQ是以QC為直角邊的直角三角形時(shí)，直接寫(xiě)出m的值．

Answer 1

【答案】（1）n＝3；（2）AD＝；（3）S與m的關(guān)系式為；（4）當(dāng)m＝或時(shí)，△DCQ是以QC為直角邊的直角三角形．

【解析】

（1）先求拋物線表達(dá)式，當(dāng)y＝0時(shí)，可求n的值；

（2）先求拋物線解析式，可求點(diǎn)D坐標(biāo)，即可求AD的長(zhǎng)；

（3）如圖1，延長(zhǎng)BP交y軸于點(diǎn)M，通過(guò)證明△MOP∽△MAB，可得，可得，OM＝3，AM＝9．分兩種情況討論，由面積關(guān)系可求解；

（4）分兩種情況討論，由相似三角形的性質(zhì)可求解．

解：（1）當(dāng)m＝0時(shí)，點(diǎn)Q坐標(biāo)為（0，6），

∴拋物線表達(dá)式為y＝ax2+6．

根據(jù)題意可知，

∴拋物線表達(dá)式為．

當(dāng)y＝0時(shí)，，

解得x＝±3．

由題意n＞m，

∴n＝3；

（2）∵點(diǎn)Q坐標(biāo)為（m，6），

∴拋物線表達(dá)式為．

當(dāng)x＝0時(shí)，．

∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，），

∵點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，6），

∴AD＝；

（3）如圖1，延長(zhǎng)BP交y軸于點(diǎn)M，

∵OP∥AB，

∴△MOP∽△MAB，

∴．

∴

∵AO＝6，

∴OM＝3，AM＝9．

當(dāng)AD＜AM，即時(shí)，

S＝＝．

當(dāng)AD＞AM，即時(shí)，

S＝＝．

綜上，S與m的關(guān)系式為

（4）如圖2，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥OC，

∵點(diǎn)Q坐標(biāo)為（m，6），

∴拋物線表達(dá)式為．

當(dāng)x＝0時(shí)，．

∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，）．

∴OD＝m2﹣6，

當(dāng)y＝0時(shí)，0＝﹣（x﹣m）2+6，

∴x1＝3+m，x2＝﹣3+m，

∴點(diǎn)C（3+m，0）

∴OC＝3+m，CH＝3，

∵∠OCD＝90°，

∴∠OCQ+∠OCD＝90°，且∠OCQ+∠CQH＝90°，

∴∠CQH＝∠DCO，且∠QHC＝∠COD＝90°，

∴△CQH∽△DCO，

∴，

∴，

∴m1＝﹣3（不合題意舍去），m2＝，

如圖3，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥OC，

同理可證△ADQ∽△HCQ，

∴

∴

∴m1＝0（不合題意舍去），m2＝，

綜上所述：當(dāng)m＝或時(shí)，△DCQ是以QC為直角邊的直角三角形．