Question

(本小題滿分12分)
如圖，已知直線PA交⊙0于A、B兩點，AE是⊙0的直徑．點C為⊙0上一點，且AC平分∠PAE，過C作CD⊥PA，垂足為D。
(1)求證：CD為⊙0的切線；
(2)若DC+DA=6，⊙0的直徑為l0，求AB的長度.

Answer 1

(1)證明：連接OC,

因為點C在⊙0上，0A=OC,所以∠OCA=∠OAC，因為CD⊥PA，所以∠CDA=90°，
有∠CAD+∠DCA=90°，因為AC平分∠PAE，所以∠DAC=∠CAO。
所以∠DC0=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°。
又因為點C在⊙O上，OC為⊙0的半徑，所以CD為⊙0的切線．
(2)解：過0作0F⊥AB，垂足為F，所以∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°，
所以四邊形OCDF為矩形，所以0C=FD，OF=CD.
∵DC+DA=6，設AD=x，則OF=CD=6-x，
∵⊙O的直徑為10，∴DF=OC=5，∴AF=5-x，
在Rt△AOF中，由勾股定理得.
即，化簡得：
解得或。
由AD<DF，知，故。
從而AD="2," AF=5-2=3.
∵OF⊥AB，由垂徑定理知，F(xiàn)為AB的中點，∴AB=2AF=6.

略