Question

【題目】已知點(diǎn)，點(diǎn)D在雙曲線的圖象上，而點(diǎn)P是直線上的動點(diǎn)，若這三點(diǎn)與平面上任意一點(diǎn)構(gòu)成正方形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為____________．

Answer 1

【答案】（3,4）或（4,3）或或或（-12，-1）

【解析】

由題意，只要ADP組成等腰直角三角形就可以，討論分別以A、D、P為直角頂點(diǎn)的直角三角形，可得出結(jié)論.

由題意，只要△ADP為等腰直角三角形就可以構(gòu)成正方形，

①如圖所示，若∠ADP=90°，AD=DP，過D作EF∥x軸，則可得DE⊥AE，DF⊥PF，

∵∠ADP=90°，∴∠ADE+∠PDF=90°，

又∵∠EAD+∠ADE=90°，∴∠EAD=∠PDF，

在△ADE和△DPF中，

∴△ADE≌△DPF（AAS）

∴DE=PF，AE=DF，

設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)，P點(diǎn)坐標(biāo)為，則DE=PF=m，AE=DF=4-m

∵A點(diǎn)縱坐標(biāo)為3，∴OA=3，E點(diǎn)縱坐標(biāo)為3+4-m=7-m，與D點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，

則，解得m=3或4，則D點(diǎn)坐標(biāo)為（3,4）或（4,3）；

②如圖所示，若∠APD=90°，AP=DP，過P作EF∥x軸，過D作DF∥y軸，則可得PE⊥AE，DF⊥PF，

同①可證△PAE≌△DPF，∴PE=DF，AE=PF，

設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)，P點(diǎn)坐標(biāo)為，則PE=DF=4，AE=PF=m-4，

由E點(diǎn)和F點(diǎn)縱坐標(biāo)相同可得，，解得，，所以D點(diǎn)坐標(biāo)為或

③如圖所示，若∠PAD=90°，AD=AP，過A作EF∥x軸，過D點(diǎn)作DE∥y軸，則可得AE⊥DE，AF⊥PF，

同理可證△ADE≌△PAF，所以AE=PF，DE=AF，

設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)，P點(diǎn)坐標(biāo)為，則AE=PF=-m，DE=AF=4，

由E點(diǎn)縱坐標(biāo)與A點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，可得，解得m=-12，

所以D坐標(biāo)為（-12，-1）

綜上所述D點(diǎn)坐標(biāo)為（3,4）或（4,3）或或或（-12，-1）