Question

如圖，⊙O中，弦AB⊥CD于點(diǎn)E．若ON⊥BD于N，求證：ON=

1

2

AC．

Answer 1

分析：首先連接DO交延長，交圓O于F，連接CF，BF．由ON⊥BD，根據(jù)垂徑定理的即可求得BN=CN，繼而可得ON是△BDF的中位線，則可求得ON=

1

2

BF，易證得CF∥AB，即可得AC=BF，繼而證得結(jié)論．

解答：證明：連接DO交延長，交圓O于F，連接CF，BF．
∵ON⊥DB，
∴DN=BN；
又∵DO=OF．
∴ON=

1

2

BF；
∵DF為直徑，
∴∠DCF=90°
∵弦AB⊥CD，
∴∠DEA=90°，
∴∠DCF=∠DEA，
∴CF∥AB，
∴

AF

=

BC

，
∴

AC

=

BF

，
∴AC=BF．
∴ON=

1

2

AC．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理、垂徑定理以及三角形的中位線的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．