Question

【題目】如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不含B、C點(diǎn)）．將△ABP沿直線AP翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處；在CD上有一點(diǎn)M，使得將△CMP沿直線MP翻折后，點(diǎn)C落在直線PE上的點(diǎn)F處，直線PE交CD于點(diǎn)N，連接MA，NA．則以下結(jié)論中正確的有_____________（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）．

①∠N\AF＝45°；②當(dāng)P為 BC中點(diǎn)時(shí)，AE為線段NP的中垂線；

③四邊形AMCB的面積最大值為10； ④線段AM的最小值為2；

⑤當(dāng)△ABP≌△ADN時(shí)，BP＝4-4．

Answer 1

【答案】①③⑤

【解析】①正確，只要證明∠APM=90°即可解決問題；③正確，設(shè)PB=x，構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)解決問題即可；②錯(cuò)誤，設(shè)ND=NE=y，在RT△PCN利用勾股定理求出y即可解決問題；④錯(cuò)誤，作MG⊥AB于G，因?yàn)?/span>AM2=MG2+AG2=16+AG2，所以AG最小時(shí)AM最小，構(gòu)建二次函數(shù)，求得AG的最小值為3，AM的最小值為5；⑤正確，在AB上取一點(diǎn)K使得AK=PK，設(shè)PB=z，列出方程即可解決問題．

∵∠APB=∠APE，∠MPC=∠MPN，∵∠CPN+∠NPB=180°，

∴2∠NPM+2∠APE=180°，∴∠MPN+∠APE=90°，∴∠APM=90°，

∵∠CPM+∠APB=90°，∠APB+∠PAB=90°，∴∠CPM=∠PAB，

∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=CB=DC=AD=4，∠C=∠B=90°，

∴△CMP∽△BPA．故①正確，

設(shè)PB=x，則CP=4-x，∵△CMP∽△BPA，∴，∴CM=x（4-x），

∴S四邊形AMCB= [4+x（4-x）]×4=－（x-2）2+10，

∴x=2時(shí)，四邊形AMCB面積最大值為10，故③正確，

當(dāng)PB=PC=PE=2時(shí)，設(shè)ND=NE=y， 在RT△PCN中，（y+2）2=（4-y）2+22，

解得y=，∴NE≠EP，故②錯(cuò)誤，

作MG⊥AB于G，∵AM2=MG2+AG2=16+AG2，∴AG最小時(shí)AM最小，

∵AG=AB-BG=AB-CM=4－x（4-x）=（x-1）2+3，

∴x=1時(shí)，AG最小值=3，∴AM的最小值==5，故④錯(cuò)誤．

∵△ABP≌△ADN時(shí)，∴∠PAB=∠DAN=22.5°，在AB上取一點(diǎn)K使得AK=PK，設(shè)PB=z，

∴∠KPA=∠KAP=22.5°∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°，∴∠BPK=∠BKP=45°，

∴PB=BK=z，AK=PK=z， ∴z+z=4，∴z=4－4，∴PB=4－4，故⑤正確．