Question

如圖，半徑為2的⊙O與含有30°角的直角三角板ABC的AC邊切于點(diǎn)A，將直角三角板沿CA邊所在的直線向左平移，當(dāng)平移到AB與⊙O相切時(shí)，該直角三角板平移的距離為    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意畫出平移后的圖形，如圖所示，設(shè)平移后的△A′B′C′與圓O相切于點(diǎn)D，連接OD，OA，AD，過O作OE⊥AD，根據(jù)垂徑定理得到E為AD的中點(diǎn)，由平移前AC與圓O相切，切點(diǎn)為A點(diǎn)，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OA與AC垂直，可得∠OAA′為直角，由A′D與A′A為圓O的兩條切線，根據(jù)切線長定理得到A′D=A′A，再根據(jù)∠B′A′C′=60°，根據(jù)有一個(gè)角為60°的等腰三角形為等邊三角形可得出三角形A′AD為等邊三角形，平移的距離AA′=AD，且∠DAA′=60°，由∠OAA′-∠DAA′求出∠OAE為30°，在直角三角形AOE中，由銳角三角函數(shù)定義表示出cos30°=，把OA及cos30°的值代入，求出AE的長，由AD=2AE可求出AD的長，即為平移的距離．
解答：解：根據(jù)題意畫出平移后的圖形，如圖所示：
設(shè)平移后的△A′B′C′與圓O相切于點(diǎn)D，連接OD，OA，AD，
過O作OE⊥AD，可得E為AD的中點(diǎn)，
∵平移前圓O與AC相切于A點(diǎn)，
∴OA⊥A′C，即∠OAA′=90°，
∵平移前圓O與AC相切于A點(diǎn)，平移后圓O與A′B′相切于D點(diǎn)，
即A′D與A′A為圓O的兩條切線，
∴A′D=A′A，又∠B′A′C′=60°，
∴△A′AD為等邊三角形，
∴∠DAA′=60°，AD=AA′=A′D，
∴∠OAE=∠OAA′-∠DAA′=30°，
在Rt△AOE中，∠OAE=30°，AO=2，
∴AE=AO•cos30°=，
∴AD=2AE=2，
∴AA′=2，
則該直角三角板平移的距離為2．
故答案為：2．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)，切線長定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，垂徑定理，以及平移的性質(zhì)，是一道多知識(shí)點(diǎn)的綜合性題，根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，并作出適當(dāng)?shù)妮o助線是本題的突破點(diǎn)．