Question

【題目】如圖，是半圓的直徑，，射線(xiàn)為半圓的切線(xiàn)．在上取一點(diǎn)，連接交半圓于點(diǎn)，連接．過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作半圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)為，與相交于點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）當(dāng)與的面積相等時(shí)，求的長(zhǎng)；

（3）求證：當(dāng)在上移動(dòng)時(shí)（點(diǎn)除外），點(diǎn)始終是線(xiàn)段的中點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）2；（3）見(jiàn)解析．

【解析】

（1）證明，再證明，即可得到結(jié)論；

（2）證明，結(jié)合與的面積相等，得到，再證明四邊形是正方形，可得結(jié)論；

（3）由得：，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．利用，得到，從而可得結(jié)論．

證明：（1）是半圓的直徑

，即

又，

為半圓的切線(xiàn)

，

（2）為半圓的切線(xiàn)，

由（1）知，得

當(dāng)與的面枳相等時(shí)，，得

，

連接，

又，是半圓的切線(xiàn)，

，

四邊形是正方形，

四邊形是矩形，

故

（3）由（2）知，

，即： …… ①

是半圓的切線(xiàn)

，

過(guò)點(diǎn)作，垂足為．

在中：，

則有，

化簡(jiǎn)得：…… ②

由①，②得

即：在上移動(dòng)時(shí)（點(diǎn)除外），點(diǎn)始終是線(xiàn)段的中點(diǎn)．