【題目】如圖1,將邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD壓扁為邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD.在菱形ABCD中,∠A的大小為α,面積記為S.
(1)請(qǐng)補(bǔ)全表:
α | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° |
S |
| 1 |
|
(2)填空:
由(1)可以發(fā)現(xiàn)單位正方形在壓扁的過(guò)程中,菱形的面積隨著∠A大小的變化而變化,不妨把單位菱形的面積S記為S(α).例如:當(dāng)α=30°時(shí),S=S(30°)=;當(dāng)α=135°時(shí),S=S(135°)=.由上表可以得到S(60°)=S( °);S(150°)=S( °),…,由此可以歸納出S(180°﹣α)=( °).
(3)兩塊相同的等腰直角三角板按圖2的方式放置,AD=,∠AOB=α,試探究圖中兩個(gè)帶陰影的三角形面積是否相等,并說(shuō)明理由(注:可以利用(2)中的結(jié)論).
【答案】(1)(2)120;30;α(3)兩個(gè)帶陰影的三角形面積相等
【解析】
(1)過(guò)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,當(dāng)α=45°時(shí),可求得DE,從而可求得菱形的面積S,同理可求當(dāng)α=60°時(shí)S的值,當(dāng)α=120°時(shí),過(guò)D作DF⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,則可求得DF,可求得S的值,同理當(dāng)α=135°時(shí)S的值;
(2)根據(jù)表中所計(jì)算出的S的值,可得出答案;
(3)將△ABO沿AB翻折得到菱形AEBO,將△CDO沿CD翻折得到菱形OCFD.利用(2)中的結(jié)論,可求得△AOB和△COD的面積,從而可求得結(jié)論.
解:(1)當(dāng)α=45°時(shí),如圖1,過(guò)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,
則DE=AD=,
∴S=ABDE=,
同理當(dāng)α=60°時(shí)S=,
當(dāng)α=120°時(shí),如圖2,過(guò)D作DF⊥AB,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,
則∠DAE=60°,
∴DF=AD=,
∴S=ABDF=,
同理當(dāng)α=150°時(shí),可求得S=,
故表中依次填寫(xiě):;;;;
(2)由(1)可知S(60°)=S(120°),
S(150°)=S(30°),
∴S(180°﹣α)=S(α)
故答案為:120;30;α;
(3)兩個(gè)帶陰影的三角形面積相等.
證明:如圖3將△ABO沿AB翻折得到菱形AMBO,將△CDO沿CD翻折得到菱形OCND.
∵∠AOD=∠COB=90°,
∴∠COD+∠AOB=180°,
∴S△AOB=S菱形AMBO=S(α)
S△CDO=S菱形OCND=S(180°﹣α)
由(2)中結(jié)論S(α)=S(180°﹣α)
∴S△AOB=S△CDO.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于點(diǎn)A(﹣2,0)、B(x1,0),且1<x1<2,與y軸正半軸的交點(diǎn)在(0,2)的上方,頂點(diǎn)為C.直線y=kx+m(k≠0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、B.則下列結(jié)論:①b>a;②2a﹣b>﹣1;③2a+c<0;④k>a+b;⑤k<﹣1. 其中正確的結(jié)論有_________.(填序號(hào))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校七年級(jí)組織數(shù)學(xué)嘉年華活動(dòng),共評(píng)出三個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng),年級(jí)處購(gòu)買(mǎi)了一些獎(jiǎng)品進(jìn)行表彰,相關(guān)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表(不完整)所示:
一等獎(jiǎng) | 二等獎(jiǎng) | 三等獎(jiǎng) | 合計(jì) | |
獲獎(jiǎng)人數(shù)(單位:人) | 40 | |||
獎(jiǎng)品單價(jià)(單位:元) | 12 | 9 | 6 | |
獎(jiǎng)品金額(單位:元) | 300 |
已知二等獎(jiǎng)的獲獎(jiǎng)人數(shù)比一等獎(jiǎng)的獲獎(jiǎng)人數(shù)多5人.你能根據(jù)所給條件,分別求出三種獎(jiǎng)項(xiàng)的獲獎(jiǎng)人數(shù)嗎?請(qǐng)根據(jù)你所設(shè)的未知數(shù),先填表(代數(shù)式不必化簡(jiǎn)),再列方程解答.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下面是按照一定規(guī)律畫(huà)出的一列“樹(shù)型”圖:
經(jīng)觀察可以發(fā)現(xiàn):圖(2)比圖(1)多出2個(gè)“樹(shù)枝”,圖(3)比圖(2)多出5個(gè)“樹(shù)枝”,圖(4)比圖(3)多出10個(gè)“樹(shù)枝”,照此規(guī)律,圖(7)比圖(6)多出_____個(gè)“樹(shù)枝”.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC的頂點(diǎn)都在方格線的交點(diǎn)(格點(diǎn))上.
(1)將△ABC繞C點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△A′B′C′,請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出△A′B′C′.
(2)將△ABC向上平移1個(gè)單位,再向右平移5個(gè)單位得到△A″B″C″,請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出△A″B″C″.
(3)若將△ABC繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°,A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1的坐標(biāo)是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在足夠大的空地上有一段長(zhǎng)為a米的舊墻MN,某人利用舊墻和木欄圍成一個(gè)矩形菜園ABCD,其中AD≤MN,已知矩形菜園的一邊靠墻,另三邊一共用了100米木欄.
(1)若a=20,所圍成的矩形菜園的面積為450平方米,求所利用舊墻AD的長(zhǎng);
(2)求矩形菜園ABCD面積的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m+1,m-1).
(1)試判斷點(diǎn)P是否在一次函數(shù)y=x-2的圖象上,并說(shuō)明理由;
(2)如圖,一次函數(shù)y=-x+3的圖象與x軸、y軸分別相交于A,B,若點(diǎn)P在△AOB的內(nèi)部,求m的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O分別與BC、AC交于點(diǎn)D、E,過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線DF,交AC于點(diǎn)F.
(1)求證:DF⊥AC;
(2)若⊙O的半徑為4,∠CDF=22.5°,求陰影部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在數(shù)軸上點(diǎn)A表示數(shù)a,點(diǎn)C表示數(shù)c,且多項(xiàng)式x3+15x2y2﹣20的常數(shù)項(xiàng)是a,最高次項(xiàng)的系數(shù)是c.我們把數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離用表示兩點(diǎn)的大寫(xiě)字母一起標(biāo)記.比如,點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離記作AB.
(1)求a,c的值;
(2)動(dòng)點(diǎn)B從數(shù)﹣6對(duì)應(yīng)的點(diǎn)開(kāi)始向右運(yùn)動(dòng),速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度.同時(shí)點(diǎn)A,C在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)A,C的速度分別為每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度,每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
①若點(diǎn)A向右運(yùn)動(dòng),點(diǎn)C向左運(yùn)動(dòng),AB=BC.求t的值;
②若點(diǎn)A向左運(yùn)動(dòng),點(diǎn)C向石運(yùn)動(dòng),2AB﹣mBC的值不隨時(shí)間t的變化而改變,求出m的值.
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