Question

【題目】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與B、C重合) ．以AD為邊作正方形ADEF，連接CF．

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，求證：①BD⊥CF；②CF＝BCCD．
（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，其他條件不變，請(qǐng)直接寫出CF、BC、CD三條線段之間的關(guān)系．
（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，且點(diǎn)A、F分別在直線BC的兩側(cè)，其他條件不變：①請(qǐng)直接寫出CF、BC、CD三條線段之間的關(guān)系；②若連接正方形對(duì)角線AE、DF,交點(diǎn)為O，連接OC，探究△AOC的形狀，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：①如圖①，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∵四邊形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°-∠DAC，∠CAF=90°-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，

AB＝AC ∠BAD＝∠CAF AD＝AF

∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD=45°，

∴∠BCF=90°，

即BD⊥CF.

②由①得△BAD≌△CAF，
∴BD=CF
∵BD+CD=BC，
∴CF=BC-CD.

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（2）

解：CF-CD=BC．理由如下：
如圖②，
∵∠BAD=90°+∠CAD，
∠CAF=90°+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，

AB＝AC ∠BAD＝∠CAF AD＝AF

∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD=CF，
∵BD=BC+CD，
∴CF-CD=BC．

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（3）

解：①CD-CF=BC;

②等腰三角形.理由如下：

∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴AB=AC，
∵四邊形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°-∠BAF，∠CAF=90°-∠BAF，
∴∠BAD=∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中，

AB＝AC ∠BAD＝∠CAF AD＝AF

∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABD=135°，
∴∠ACF=∠ABD=135°，
∴∠FCD=90°，
∴△FCD是直角三角形．

又∵OD=OF，

∴OC=OD=OA，

∴△AOC是等腰三角形.

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【解析】（1），（2）和（3）中每題都要運(yùn)用“SAS”證明△BAD≌△CAF，然后得到邊的關(guān)系和角的關(guān)系；（3）的②還要運(yùn)用到直角三角形中斜邊上的中線是斜邊長(zhǎng)的一半.
【考點(diǎn)精析】利用等腰直角三角形和直角三角形斜邊上的中線對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．