Question

【題目】如圖，D是△ABC的邊AB上一點，CN∥AB，DN交AC于點M，若MA=MC．
（1）求證：CD=AN；
（2）若AC⊥DN，∠CAN=30°，MN=1，求四邊形ADCN的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：

∵CN∥AB，

∴∠1=∠2．

在△AMD和△CMN中，

，

∴△AMD≌△CMN（ASA），

∴AD=CN．

又AD∥CN，

∴四邊形ADCN是平行四邊形，

∴CD=AN；

（2）解：∵AC⊥DN，∠CAN=30°，MN=1，

∴AN=2MN=2，

∴AM= = ，

∴S△AMN= AMMN= × ×1= ．

∵四邊形ADCN是平行四邊形，

∴S四邊形ADCN=4S△AMN=2 ．

【解析】（1）利用“平行四邊形ADCN的對邊相等”的性質(zhì)可以證得CD=AN；（2）根據(jù)“直角△AMN中的30度角所對的直角邊是斜邊的一半”求得AN=2MN=2，然后由勾股定理得到AM= ，則S四邊形ADCN=4S△AMN=2 ．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用勾股定理的概念和平行四邊形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積．