【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),點(diǎn)A(0,4),點(diǎn)B(﹣2,0),把△ABO繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得△AB′O′,點(diǎn)B、O旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′、O′.
(1)如圖①,若旋轉(zhuǎn)角為60°時(shí),求BB′的長;
(2)如圖②,若AB′∥x軸,求點(diǎn)O′的坐標(biāo);
(3)如圖③,若旋轉(zhuǎn)角為240°時(shí),邊OB上的一點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P′,當(dāng)O′P+AP′取得最小值時(shí),求點(diǎn)P′的坐標(biāo)(直接寫出結(jié)果即可)
【答案】(1);(2)點(diǎn)O′的坐標(biāo)為(,+4);(3)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為(﹣,.
【解析】分析:(1)由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可得出AB的長度,連接BB′,由旋轉(zhuǎn)可知:AB=AB′,∠BAB′=60°,進(jìn)而可得出△ABB′為等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求出BB′的長;
(2)過點(diǎn)O′作O′D⊥x軸,垂足為D,交AB′于點(diǎn)E,則△AO′E∽△ABO,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合相似三角形的性質(zhì)可求出AE、O′E的長,進(jìn)而可得出點(diǎn)O′的坐標(biāo);
(3)作點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)A′,連接A′O′交x軸于點(diǎn)P,此時(shí)O′P+AP′取最小值,過點(diǎn)O′作O′F⊥y軸,垂足為點(diǎn)F,過點(diǎn)P′作PM⊥O′F,垂足為點(diǎn)M,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合解直角三角形可求出點(diǎn)O′的坐標(biāo),由A、A′關(guān)于x軸對(duì)稱可得出點(diǎn)A′的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可求出直線A′O′的解析式,由一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)P的坐標(biāo),進(jìn)而可得出OP的長度,再在Rt△O′P′M中,通過解直角三角形可求出O′M、P′M的長,進(jìn)而可得出此時(shí)點(diǎn)P′的坐標(biāo).
詳解:(1)∵點(diǎn)A(0,4),點(diǎn)B(﹣2,0),∴OA=4,OB=2,∴AB==2.
在圖①中,連接BB′.
由旋轉(zhuǎn)可知:AB=AB′,∠BAB′=60°,∴△ABB′為等邊三角形,∴BB′=AB=2.
(2)在圖②中,過點(diǎn)O′作O′D⊥x軸,垂足為D,交AB′于點(diǎn)E.
∵AB′∥x軸,O′E⊥x軸,∴∠O′EA=90°=∠AOB.
由旋轉(zhuǎn)可知:∠B′AO′=∠BAO,AO′=AO=4,∴△AO′E∽△ABO,==,即==,∴AE=,O′E=,∴O′D=+4,∴點(diǎn)O′的坐標(biāo)為(+4).
(3)作點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)A′,連接A′O′交x軸于點(diǎn)P,此時(shí)O′P+AP′取最小值,過點(diǎn)O′作O′F⊥y軸,垂足為點(diǎn)F,過點(diǎn)P′作PM⊥O′F,垂足為點(diǎn)M,如圖3所示.
由旋轉(zhuǎn)可知:AO′=AO=4,∠O′AF=240°﹣180°=60°,∴AF=AO′=2,O′F=AO′=2,∴點(diǎn)O′(﹣2,6).
∵點(diǎn)A(0,4),∴點(diǎn)A′(0,﹣4).
設(shè)直線A′O′的解析式為y=kx+b,將A′(0,﹣4)、O′(﹣2,6)代入y=kx+b,得:
,解得:,∴直線A′O′的解析式為y=﹣x﹣4.
當(dāng)y=0時(shí),有﹣x﹣4=0,解得:x=﹣,∴點(diǎn)P﹣,0),∴OP=O′P′=.
在Rt△O′P′M中,∠MO′P′=60°,∠O′MP′=90°,∴O′M=O′P′=,P′M=O′P′=,∴點(diǎn)P′的坐標(biāo)為(﹣2+,6+),即(﹣).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AD是等腰△ABC底邊BC上的高.點(diǎn)O是AC中點(diǎn),延長DO到E,使OE=OD,連接AE,CE.
(1)求證:四邊形ADCE的是矩形;
(2)若AB=17,BC=16,求四邊形ADCE的面積.
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【題目】小張同學(xué)在計(jì)算時(shí),將“”錯(cuò)看成了“”,得出的結(jié)果是.
(1)請(qǐng)你求出這道題的正確結(jié)果;
(2)試探索:當(dāng)字母、滿足什么關(guān)系時(shí),(1)中的結(jié)果與字母的取值無關(guān).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+1經(jīng)過A(-1,0),B(1,1)兩點(diǎn).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)閱讀理解:
在同一平面直角坐標(biāo)系中,直線l1:y=k1x+b1(k1,b1為常數(shù),且k1≠0),直線l2:y=k2x+b2(k2,b2為常數(shù),且k2≠0),若l1⊥l2,則k1·k2=-1.
解決問題:
①若直線y=3x-1與直線y=mx+2互相垂直,求m的值;
②是否存在點(diǎn)P,使得△PAB是以AB為直角邊的直角三角形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)M是拋物線上一動(dòng)點(diǎn),且在直線AB的上方(不與A,B重合),求點(diǎn)M到直線AB的距離的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,F是AD的中點(diǎn),延長BC到點(diǎn)E,使CE=BC,連結(jié)DE,CF。
(1)求證:四邊形CEDF是平行四邊形;
(2)若AB=4,AD=6,∠B=60°,求DE的長。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩同學(xué)騎自行車從A地沿同一條路到B地,已知乙比甲先出發(fā),他們離出發(fā)地的距離s(km)和騎行時(shí)間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示,根據(jù)圖像信息,以上說法正確的是( )
A.甲和乙兩人同時(shí)到達(dá)目的地;B.甲在途中停留了0.5h;
C.相遇后,甲的速度小于乙的速度;D.他們都騎了20km
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【題目】有下列命題
①一組對(duì)邊平行,一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形.
②兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形.
③一組對(duì)邊相等,一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形.
④一組對(duì)邊平行,一條對(duì)角線被另一條對(duì)角線平分的四邊形是平行四邊形.
(1)上述四個(gè)命題中,是真命題的是 (填寫序號(hào));
(2)請(qǐng)選擇一個(gè)真命題進(jìn)行證明.(寫出已知、求證,并完成證明)
已知: .
求證: .
證明:
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【題目】平行四邊形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示,其中A,,反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C.
(1)求此反比例函數(shù)的解析式;
(2)將平行四邊形ABCD沿x軸翻折得到平行四邊形,請(qǐng)你通過計(jì)算說明點(diǎn)在雙曲線上.
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