Question

在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），直線CM∥x軸（如圖所示）．點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線y=x+b（b為常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，且與直線CM相交于點(diǎn)D，連接OD．
（1）求b的值和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)P在x軸的正半軸上，若△POD是等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，如果以PD為半徑的圓P與圓O外切，求圓O的半徑．

Answer 1

分析：（1）先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，由直線過(guò)點(diǎn)B，把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入解析式，可求得b的值；點(diǎn)D在直線CM上，其縱坐標(biāo)為4，利用求得的解析式確定該點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可；
（2）△POD為等腰三角形，有三種情況：PO=OD，PO=PD，DO=DP，故需分情況討論，要求點(diǎn)P的坐標(biāo)，只要求出點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離即可；
（3）結(jié)合（2），可知⊙O的半徑也需根據(jù)點(diǎn)P的不同位置進(jìn)行分類討論．

解答：解：（1）∵B與A（1，0）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
∴B（-1，0）
∵y=x+b過(guò)點(diǎn)B
∴-1+b=0，b=1
∴y=x+1
當(dāng)y=4時(shí)，x+1=4，x=3
∴D（3，4）；

（2）作DE⊥x軸于點(diǎn)E，則OE=3，DE=4，
∴OD=

OE2+DE2

=

32+42

=5．
若△POD為等腰三角形，則有以下三種情況：
①以O(shè)為圓心，OD為半徑作弧交x軸的正半軸于點(diǎn)P₁，則OP₁=OD=5，
∴P₁（5，0）．
②以D為圓心，DO為半徑作弧交x軸的正半軸于點(diǎn)P₂，則DP₂=DO=5，
∵DE⊥OP₂
∴P₂E=OE=3，
∴OP₂=6，
∴P₂（6，0）．
③取OD的中點(diǎn)N，過(guò)N作OD的垂線交x軸的正半軸于點(diǎn)P₃，則OP₃=DP₃，
易知△ONP₃∽△DCO．
∴

OP3

OD

=

ON

DC

．
∴

OP3

5

=

5 2

3

，OP₃=

25

6

．
∴P₃（

25

6

，0）．
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P有三個(gè)，分別是P₁（5，0），P₂（6，0），P₃（

25

6

，0）．

（3）①當(dāng)P₁（5，0）時(shí)，P₁E=OP₁-OE=5-3=2，OP₁=5，
∴P₁D=

P1E2+DE2

=

22+42

=2

5

．
∴⊙P的半徑為2

5

．
∵⊙O與⊙P外切，
∴⊙O的半徑為5-2

5

．
②當(dāng)P₂（6，0）時(shí)，P₂D=DO=5，OP₂=6，
∴⊙P的半徑為5．
∵⊙O與⊙P外切，
∴⊙O的半徑為1．
③當(dāng)P₃（

25

6

，0）時(shí)，P₃D=OP₃=

25

6

，
∴⊙P的半徑為

25

6

．
∵⊙O與⊙P外切，
∴⊙O的半徑為0，即此圓不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，注意到分情況討論是解決本題的關(guān)鍵．