【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點A坐標(biāo)為(6,0),在B在y軸的正半軸上,且S△AOB=24.
(1)求點B坐標(biāo);
(2)若點P從B出發(fā)沿y軸負半軸運動,速度每秒2個單位,運動時間t秒,△AOP的面積為S,求S與t的關(guān)系式,并直接寫出t的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,若S△AOP:S△ABP=1:3,且S△AOP+S△ABP=S△AOB , 在線段AB的垂直平分線上是否存在點Q,使得△AOQ的面積與△BPQ的面積相等?若存在,求出Q點坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】解:(1)∵點A坐標(biāo)為(6,0),
∴OA=6,
∴S△AOB=×OA×OB=24,
則OB=8,
∴點B坐標(biāo)為(0,8);
(2)當(dāng)0≤t<4時,S=×(8﹣2t)×6=24﹣6t,
當(dāng)t≥4時,S=×(2t﹣8)×6=6t﹣24;
(3)∵S△AOP+S△ABP=S△AOB ,
∴點P在線段OB上,
∵S△AOP:S△ABP=1:3,
∴OP:BP=1:3,
又∵OB=8,
∴OP=2,BP=6,
線段AB的垂直平分線上交OB于E,交AB于F,
∵OB=8,OA=6,
∴AB==10,
則點F的坐標(biāo)為(3,4),
∵EF⊥AB,∠AOB=90°,
∴△BEF∽△BAO,
=,即=,
解得,BE=,
則OE=8﹣=,
∴點E的坐標(biāo)為(0,),
設(shè)直線EF的解析式為y=kx+b,
,
解得,k=,b=,
∴直線EF的解析式為y=x+
∵△AOQ的面積與△BPQ的面積相等,又OA=BP,
∴x=y,或x=﹣y,
當(dāng)x=y時,x=x+,解得,x=7,
則Q點坐標(biāo)為(7,7);
當(dāng)x=﹣y時,﹣x=x+,解得,x=﹣1,
則Q點坐標(biāo)為(﹣1,1),
∴Q點坐標(biāo)為(7,7)或(﹣1,1).

【解析】(1)根據(jù)三角形的面積公式求出OB的長即可;
(2)分0≤t<4和t≥4兩種情況,根據(jù)三角形面積公式計算即可;
(3)根據(jù)題意和三角形的面積公式求出OP、BP的長,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出點E的坐標(biāo),根據(jù)中點的性質(zhì)確定點F的坐標(biāo),運用待定系數(shù)法求出直線ef的解析式,根據(jù)等底的兩個三角形面積相等,它們的高也相等分x=y和x=﹣y兩種情況計算即可.

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